有限元一文看透几何非线性

       你可能之前听过“非线性几何”这个术语，但也许不太确定它具体是什么意思。本文旨在概述几何线性和几何非线性在有限元分析中的工作原理，并提供一些示例和建议，告诉您何时需要在自己的模拟中使用这些设置。

线性几何

        在我们开始区分线性和非线性几何之前，让我们简要回顾一下有限元分析如何处理节点位移计算-刚度矩阵。

我们都记得方程{F} = [K]{u}，其中F是节点力矢量，K是刚度矩阵，u是节点位移矢量。在典型（线性）FEA模型中，这个刚度矩阵K在开始时被定义，并且假设在整个分析过程中保持不变。这个假设是可以接受的-只要我们建模的物体形状在分析过程中对系统的刚度没有（或仅有微弱）影响。这就是我们所谓的“小应变假设”。在大多数工程问题中，变形是如此小，以至于与初始几何形状的偏离基本上是不可察觉的。与小应变假设相关的潜在误差不足以需要额外的努力来消除。

        还值得注意的是，我们所有老式的手算都使用了线性假设！这是我们在将手算结果与有限元分析结果进行比较时需要记住的重要一点。以下是考虑几何非线性和不考虑几何非线性的应变计算公式，对比其差异。

几何非线性

        但是，在不满足小应变假设的情况下该怎么办？在分析过程中，我们需要做些什么来确保捕捉到形状变化对刚度的影响？嗯，这可能听起来有点粗暴，但我们必须在每个分析增量之后重新定义刚度矩阵。这样，后续的增量计算将基于更新后的刚度矩阵进行，而不是在分析开始时定义的刚度矩阵。正如你可以想象的那样，这可能会使计算成本非常高昂，但对于许多不同的模拟来说，这是绝对必要的。几何非线性包含四种现象，大应变、大转动、应力刚化、转动软化效应。在这里，我们选择了一些经典案例来强调这一点：

图1 梁弯曲变形

我们都计算过悬臂梁上的应力和挠度。对于任何有机械思维的工程师来说，这就像是一个仪式。但请记住，这些方程式使用了线性或小应变的假设。如果梁端的挠度很小，那么这个问题的有限元分析可以被认为是几何线性的（挠度多小？请查看下一节中的建议）。然而，如果梁端挠度过大，结构的刚度和加载方式已经发生了显著变化，这意味着需要使用几何非线性来产生可接受精度的结果。当梁挠曲时，施加在其上的载荷可以分解为垂直于梁的分量和沿其轴向的分量。这种拉力分量在线性解中根本不会观察到。

    接下来，让我们看看两根受到几乎相同约束的梁，但又有所不同。顶部梁的右端允许水平位移，而底部梁的右端则不允许。这可能看起来是一个微不足道的差异，如果我们做线性假设的话，这确实如此-当受到点载荷时，两根梁的变形方式是相同的。

    然而，如果在这个模型中考虑几何非线性的影响，很快就会明显地发现这不是相同的加载情况。底部梁实际上在增加长度（或者试图增加长度），这会引起很大的张力。随着拉力的增加，其对梁中心横向位移的影响也会增加，导致两根梁之间的结果产生分歧，如下图所示的示意图所示。

薄膜的几何非线性

        与上面的梁在非线性几何引起的张力影响一样，薄膜也表现出相同的行为。想象一下弹床的蒙皮。如果我们使用线性假设来分析它，它只会弯曲，我们无法跳得很高。然而，在现实中，当我们的重量使弹床下沉时，弹性拉应力（而不是弯曲）在薄膜（和弹簧）中积聚，并且在薄膜恢复形状时，我们被弹回空中。

下图完美地说明了这一点。在左侧（1）我们可以看到在仿真中考虑几何非线性时的正确负荷P的结果，在右侧（2），则是当不考虑几何非线性时预测的变形。

什么时候该使用几何非线性？

在有限元分析中，没有硬性规定指出什么时候需要考虑几何非线性。然而，有一些经验丰富的仿真专家提出的建议：

规则1：梁的挠度超过梁厚度的一半时，往往需要考虑非线性几何。

规则2：如果模型中任何位置的变形大于组件最大尺寸的1/20，那么应该考虑非线性几何。

规则3：如果应变超过5%，可能需要考虑非线性几何。

但要小心：

使用非线性几何解决问题可能需要更长的时间，因为需要在每个增量更新刚度矩阵。如果您想与传统手算结果进行比较，传统手算是基于线性理论的。因此，在变形超过一定点时，手算结果与有限元分析中考虑几何非线性的结果很可能出现分歧。

        为了安全起见，建议对比开启和关闭几何非线性的结果，这将帮助您确定对于您正在进行的特定研究来说非线性几何有多重要。进行此类合理性检查可以让您有信心地呈现结果。