Abaqus-再解时间积分的隐式与显式方法

        著名的第四维度“时间”在确定几乎所有工程和物理系统的行为方面起着至关重要的作用。鉴于这一点，我们的有限元分析（FEA）模拟方法需要相应地考虑时间因素。本文旨在解释有限元分析中时间积分的概念，并介绍隐式和显式方法中对时间的处理方式的区别。

介绍

我们知道，任何物理系统的运动都可以用运动方程表示。这个运动方程的一般形式是：

其中，a是加速度，v是速度，u是系统的变形。在上述方程中，加速度、速度和变形是关于时间的未知量。加速度和速度可以用变形表示为：

因此，运动方程是关于时间的二阶常微分方程。这个动态方程可以在频域或时域中求解。在频域中，假设未知量是谐波的，它们具有正弦形式。而在时域中，不做任何这样的假设，直接求解方程得到未知量的实际值。但并非总是能够在时域找到未知参数的连续函数。因此，我们需要将时间分为有限数量的时间步长，并在特定的时间点求解未知量。这种技术称为时间积分方法。

在时间积分技术中，当前时间步的未知值是基于前一个时间步的已知值计算得出的。根据计算过程和应用，时间积分技术可以分为两种类型：隐式和显式。让我们通过以下显示的位移（u）和速度（u'）方程，在时间步（tn+1）上讨论这两种技术之间的差异。

下面的图显示了位移u随时间t变化的情况。tn和tn+1是相邻的两个时间步，它们之间间隔了时间间隔（∆t）。曲线的斜率（u'）随时间（t）连续变化。

隐式积分方法

        在隐式时间积分方法中，未知时间步的变量是通过使用未知时间步（tn+1）处的斜率（u'，u''）来计算的。由于位移、速度和加速度在时间步（tn+1）上是未知的，因此不能直接求解这些方程。

    因此，在隐式方法中，我们将得到一组方程，其中包含不同时间步的未知变量，这些方程必须同时求解。一般而言，这些方程不是线性的。我们需要使用数值方法，如牛顿-拉普森方法、割线方法、反平方插值等，来求解收敛的未知数量。这些数值方法在计算上非常昂贵。但隐式方法无论时间步长如何，都能给出稳定的解。因此，这种方法具有无条件稳定性。

显式积分方法

        在显式方法中，我们使用已知时间步的斜率（u'，u''）来计算未知时间步（tn+1）处的变量。由于位移、速度和加速度在时间步（tn）上是已知的，因此可以直接求解这些方程。

因此，在显式方法中，我们直接计算出未知值，不需要数值方法。由于显式方法的正向移动性质，它需要较小的时间增量。时间步长的大小决定了膨胀波不能传播超过元素的最小特征长度。这被称为Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)条件。在数学上可以表示为：

其中，Lmin是网格中最小单元尺寸，cd是纵向膨胀波速度。在这里，我们考虑纵向波的速度，因为它比横向波传播得更快。由于最小单元尺寸决定了显式方法中的时间步长大小，建议在模型中使用均匀的单元尺寸，以避免由于一个或少数小元素导致的时间步长过小。

如果我们不知道膨胀波速度，可以使用材料属性来计算，如下所示：

其中，E是杨氏模量，ρ是材料的密度。

这个计算得到的时间步长在大型有限元分析模型中可能太小，导致模拟需要非常长的时间才能完成。从上述方程中可以看出，时间步长与波速成反比。这意味着，如果我们可以人为地降低波速，就可以增加时间步长。通过人为增加材料的密度来降低波速的方法称为质量缩放。然而，要小心只对模型中最小的一组元素应用质量缩放，以保持结果的整体准确性。

下表总结了隐式和显式时间积分技术之间的差异:

小结

通过精读本文，相信你一定对隐式与显式积分方法有了深刻的理解。