Abaqus-之接触中的罚函数、拉格朗日和增强拉格朗日方法

        不论是在Abaqus中还是Ansys中，关于接触的计算选项都包含了罚函数、拉格朗日和增强拉格朗日方法等。其中最基本的是罚函数和基于拉格朗日方法。

罚函数法VS拉格朗日法

这两种方法在处理接触作用时（接触和目标表面之间）的数学处理上有所区别。

使用法向拉格朗日方法，接触状态是一个阶跃函数。这种接触有时可能会导致一种被称为“抖动”的情况- 接触在打开和关闭状态之间不断循环，并且求解器无法确定由施加的载荷和边界条件导致的最终接触状态。换句话说，模型无法收敛到一个解。

解决抖动问题的一种方法是引入接触穿透的概念。采用这种方法，接触体上的节点被允许相互穿透。下图显示了这个过程。红色物体上的接触点被允许穿透到蓝色物体的体积内。

我们知道，在现实生活中，物体之间是不会相互穿透的。这就是为什么需要将穿透保持在预定义的最小值的原因。实现这一点的方法是引入一个人工弹簧，如下图所示。

图中显示了人工弹簧与接触体和目标体之间连接的方式。当存在接触穿透时，人工弹簧会对模型施加一个额外的反作用力，以减小穿透程度并保持接触体与目标体之间的一定距离。通过引入人工弹簧，模型可以更好地模拟现实世界中物体之间的接触行为，且能够避免过大的穿透量。

最好以表格形式来比较这两种方法的差异：

拉格朗日方法更加准确，因为它更好地表示了现实生活中没有相互穿透的情况。然而，这会以计算成本的形式带来更长的运行时间。

罚函数方法具有更短的计算时间和较低的计算成本。但是，它的精度较差，无法准确模拟现实情况，并且可能导致抖动现象的出现。

什么是增广拉格朗日方法？

增广拉格朗日方法是一种综合了拉格朗日方法和罚函数方法两者优势的接触力计算方法。

选择拉格朗日方法的主要原因是它的准确性，选择罚函数方法的主要原因是其较低的计算成本。但是，如果我们能找到一种最佳的公式，即能够同时提供可接受的准确性和运行时间，那将会很好。这就是增广拉格朗日方法的作用所在，它也是ANSYS中默认的接触力计算方法。

增广拉格朗日方法在保持物体之间不相互穿透的同时，通过引入惩罚项来近似模拟接触力。这个惩罚项使用拉格朗日乘子来调整，以确保约束条件得到满足。通过调整惩罚参数，可以控制接触力的精度和计算效率，从而达到准确性和运行时间的平衡。

总之，增广拉格朗日方法提供了同时具有可接受准确性和运行时间的解决方案，使得它成为ANSYS中默认的接触力计算方法。

增广拉格朗日方法允许最小的穿透，并能够实现稳健性和较低的运行时间。下表显示了三种接触方法的比较。

ANSYS 接触力计算方法上表中的最后一列显示了算法用来确定接触状态的各种参数的符号。

FTOLN基于接触单元的厚度。0.10表示接触单元厚度的10%。

使用刚度和容差因子帮助收敛

最后，如果您收到与过大穿透有关的警告消息，您有几个选项：

使用法向拉格朗日方法：这将从方程中排除穿透；

降低法向刚度因子：对于弯曲主导问题，使用0.01对于体变形问题，使用1.00将穿透容差因子降低到0.01。