VDI 2230规范学习笔记4：同心夹紧螺栓连接柔度的有限元计算2
引言
在上一篇文章中，我们介绍了在有限元计算时，如何基于弹性应变能确定螺栓连接的柔度。该方法的优点为简单便捷，易于实现，但缺点为仅适用于同心夹紧的单螺栓连接。因为对于多螺栓连接结构，此时很难将由于单个螺栓所引起的被夹体的应变能从被夹体总的应变能中分离出来。对于偏心夹紧的螺栓同样如此，偏心夹紧会使得螺栓和被夹体均会产生额外的弯曲变形。由于无法将弯曲和轴向变形产生的应变能从总的应变能中分离出来，因此同样无法实现螺栓连接柔度的准确计算。对于此类情况，我们将介绍如何利用其它方法来确定螺栓连接的柔度。
基于位移法的螺栓连接柔度计算方法
在前面的方法中，我们是通过计算能量的方法来获得螺栓连接的柔度。事实上，我们也可以通过变形的方法来计算螺栓连接的柔度。假设在初始预紧状态，在螺栓预紧力FM的作用下，螺栓和被夹体的轴向变形量分别为fSM和fPM。则螺栓和被夹体的柔度可分别表示为：
显然，在已知螺栓预紧力FM的情况下，只需要通过有限元计算获得螺栓和被夹体的轴向变形量fSM和fPM，即可确定螺栓和被夹体柔度。
目前，一些研究人员已经提出通过提取螺栓头和被夹体在支承区域的节点位移来确定螺栓和被夹体的轴向变形量。由于接触边缘存在较为明显的应力梯度，因此支承区域的节点位移值也同样存在很大的变化。为此，研究人员提出提取支承区域的节点位移的平均值作为螺栓和被夹体的变形量。然而，一些研究表明，采用该方法计算变形量时，变形量对于支承区域的节点选取范围较为敏感。例如，选取支承区域中部和边缘部位的节点计算得到的变形量存在区别，这使得计算螺栓和被夹体柔度时存在很大的不确定性。
基于上述原因，本文提出一种通过建立刚体模型来确定螺栓和被夹体变形量的方法。该方法的实现思路为：
（1）在确定被夹体柔度时，将螺栓设定为刚体，而被夹体仍然为弹性体，通过在螺杆中部施加预紧力，确定螺栓夹紧过程中螺栓的轴向刚体 位移值，该位移值即为被夹体的变形量，用该变形量除以螺栓预紧力即为被夹体的柔度；
（2）在确定螺栓柔度时，将被夹体设置为刚体，而螺栓仍为弹性体，通过在被夹体分界面上施加强制位移，确定螺栓在拉伸过程中的轴力值，将强制位移值除以螺栓轴力即为螺栓的柔度。
使用上述方法计算螺栓和被夹体柔度时，由于被夹体和螺栓中总有一个为刚体，因此可以分离出螺栓和被夹体的柔度，并且螺栓和变形体的变形量是非常明确的。下面，本文仍以上一篇文章中建立的同心夹紧螺栓连接，介绍基于该方法确定螺栓和被夹体柔度的实现流程。
计算示例
被夹体柔度计算
本文计算所采用的螺栓连接模型的具体尺寸参见《VDI 2230规范学习笔记3》。在确定被夹体柔度时，需要将螺栓和螺母设定为刚体。由于在有限元软件Abaqus中不能将三维实体网格划分的模型直接指定为离散刚体，因此可以将螺栓和螺母的弹性模量更改为被夹体弹性模量的106倍来将其近似考虑为刚体。而有限元模型的其余设置与前文完全一致，这里不再赘述。
需要注意的是，将螺栓和螺母设置为刚体后，螺纹连接区域较大的接触刚度会使得计算非常难以收敛。由于在计算被夹体柔度时已经排除了螺栓的弹性变形，因此可以将螺纹连接的接触对设置为绑定接触。
取螺栓预紧力FM为100 kN，通过有限元计算可以得到螺栓的轴向位移云图如图1所示。
图1 螺栓轴向位移云图（刚体 位移）
可以看到，在螺栓预紧力施加区域，由于通过螺栓载荷施加预紧力时，预紧力施加截面两侧的网格会被Abaqus自动分离，因此在其两侧的一层网格会出现由于节点位移插值而产生的渐变。而其余区域的云图均呈现单一的颜色分布，这说明这些区域产生的位移均为刚体 位移。被截断的螺栓的两侧刚体 位移值分别对应的图例中轴向位移的最大值和最小值。因此，螺栓的刚体 位移值（被夹体变形量）为：
因此被夹体的柔度可表示为：
已知前文通过VDI 2230计算得到的理论值为：
因此，采用位移法计算时，有限元计算值与VDI 2230的理论值的相对误差为6.61%。
螺栓柔度计算
在计算螺栓柔度时，可以将被夹体设置为刚体，同时固定某一个被夹体的自由度，在另一个被夹体的接合面上施加强制轴向位移，如图2所示。
图2 被夹体强制轴向位移的施加
需要注意的是，由于螺栓是通过在被夹体上施加强制位移而被拉伸的，因此无需施加螺栓预紧力。并且由于被夹体的分界面处于分离状态，因此也不需要在上、下被夹体之间建立接触对。
取强制轴向位移为1 mm进行计算，计算完成后通过Abaqus后处理选项FreeBody提取得到螺杆中部的内力如图3所示。
图3 螺杆中部截面内力
注意，在提取螺栓轴力时，应尽量选取应力分布均匀区域的截面，以避免应力梯度对于计算结果的影响。在上图中，红色箭头代表截面应力所形成的内力的大小和方向，蓝色箭头代表截面应力所形成的弯矩的大小和方向，弯矩的简化中心默认位于截面中心位置。可以看到，内力的方向与螺栓轴向基本重合，因此可认为该内力即为螺栓的轴力值。因此，螺栓的柔度可表示为：
已知前文通过VDI 2230计算得到的理论值为：
两者的相对误差仅为1.03%，这也说明通过VDI 2230可以非常精确地计算螺栓的柔度。
模型简化和计算方法的影响
基于上述方法，本文同样研究了采用不考虑螺纹的III级简化螺栓模型建模时，模型简化和计算方法对于螺栓和被夹体柔度计算精度的影响，结果如图4和图5所示。
（a）位移法
（b）弹性应变能法
图4 模型简化方式对螺栓和被夹体柔度的影响
（a）IV级螺栓模型
（b）III级螺栓模型
图5 计算方法对螺栓和被夹体柔度的影响
从图中可以看到，由本文给出的两种计算方法计算得到的螺栓和被夹体柔度均非常吻合；而不考虑螺纹的简化模型仅对螺栓柔度有较大影响，但对于被夹体柔度的影响并不显著，这与前文的结论一致。由于本文建立的方法是通过螺栓和被夹体的局部变形来确定螺栓连接柔度的，因此可用于计算复杂多螺栓连接结构的柔度。
