VDI 2230规范学习笔记3: 同心夹紧螺栓连接柔度的有限元计算1

引言

在介绍螺栓连接柔度计算方法之前，我们首先回顾一下初始预紧状态下同心夹紧螺栓连接的连接图，如图1所示。

 

图1 初始预紧状态下同心夹紧螺栓连接的连接图

假定螺栓的装配预紧力为F_M，在该预紧力下，螺栓产生的变形量为f_SM，被夹体产生的变形量为f_PM。假设螺栓在加载过程中始终处于弹性状态，则载荷-变形曲线成线性增长。我们将螺栓和被夹体的载荷-变形曲线放置在一起，就构成了如上图所示的连接图。如果我们将螺栓和被夹体看成一个弹簧，则图中蓝色 区域的面积代表了弹簧在预紧力作用下储存的能量，而绿色 区域的面积则代表了被夹体在预紧力作用下的能量。对于连续介质构成的弹性体而言，则代表了物体由于产生弹性变形而存储的弹性应变能。显然，如果我们能够建立弹性应变能与柔度之间的联系，就可以通过弹性体的能量变化来间接计算其柔度。

由图1可知，螺栓刚度k_S和被夹体刚度k_P可分别定义为：

根据图1中的面积，可得螺栓和被夹体的弹性应变能U_S和U_P可分别定义为：

因此，螺栓柔度δ_S和被夹体柔度δ_P可通过弹性应变能和预紧力表示为：

从上式中可以看到，对于一个处于初始预紧状态的螺栓连接，如果我们知道其螺栓预紧力F_M以及螺栓预紧力作用下螺栓和被夹体产生的弹性应变能，即可确定螺栓和被夹体的柔度。

下面，本文通过一个简单的螺栓连接示例，介绍基于弹性应变能计算螺栓连接柔度的具体实现流程。

考虑如图2所示的一个同心夹紧螺栓连接，两块被夹体通过M18的螺栓和螺母连接在一起。已知上、下被夹体的长和宽均为125 mm，厚度t均为30 mm，被夹体中心开有通孔，通孔直径d_h为19 mm。

 

图2 同心夹紧螺栓连接示意图

螺栓规格依照标准GB/T 5782-2000 六角头螺栓 A级和B级选取，其尺寸参数如表1所示。

表1 M18螺栓尺寸参数

螺母规格依照GBT 6170-2015 1型六角螺母选取，其尺寸参数如表2所示。

表2 M18螺母尺寸参数

表1和表2中符号含义参见相关标准。

下面采用VDI 2230提供的方法分别计算被夹体和螺栓的柔度。

在计算螺栓柔度时，可将螺栓分为夹紧长度以内和夹紧长度以外的区域。在夹紧长度l_K以内的区域，又可以分为圆柱螺杆长度l₁和螺纹未旋合部分长度l_Gew。夹紧长度以外的区域，属于螺栓在受载过程中的额外变形区域，包括代表螺栓头变形的替代延伸长度l_SK，以及代表螺纹连接区域变形的等效长度l_GM，如图2所示。

对于无螺纹的螺杆区域，已知其长度l₁=l_g=38 mm，取钢制螺栓的弹性模量E_S为205 GPa，则其柔度δ₁可表示为：

对于螺纹的未旋合部分，已知其长度l_Gew可表示为

则其柔度δ_Gew可表示为：

式中：A_d3为螺栓小径横截面面积，可表示为：

式中：d₃为螺栓小径，可表示为：

代入可得螺栓螺纹未旋合部分的柔度δ_Gew为：

对于六角头螺栓，已知其螺栓头部替代延伸长度l_SK可定义为：

因此螺栓头的柔度δ_SK可表示为：

式中：A_N为螺栓公称直径对应的横截面积，即有：

代入可得：

对于螺栓螺纹连接部位的柔度δ_GM，它由螺栓旋合螺纹的柔度δ_G和螺母的柔度δ_M共同构成。

已知螺栓旋合螺纹的柔度δ_G可表示为：

式中：l_G为螺纹旋合部分的替代延伸长度，定义为：

可以看到，并非螺纹旋合的所有部分均对螺纹连接部位的柔度有贡献。将其代入柔度计算公式可得：

而螺母的柔度δ_M可表示为：

式中：E_M为螺母的弹性模量，与螺栓的弹性模量相同。l_M为螺母的替代延伸长度，对于通孔螺栓连接（TBJ），可定义为：

代入可计算得到螺母的柔度δ_M为：

因此，螺栓的柔度δ_S可视为所有区域的柔度的总和，即有：

对于本文考虑的计算示例，由于被夹体的长度和宽度远大于螺栓头的支承面直径d_w，因此变形锥可充分延伸而不被截断（即满足D_A≥D_A,Gr），故可以将被夹体的变形区域简化为单个变形锥。

在基于变形锥理论计算被夹体柔度时，需要确定变形锥的角度。变形锥的角度与周围材料的支承效果和被夹体的厚度均有关系。对于通孔螺栓（TBJ），VDI 2230给出了标准螺栓连接的变形锥角度：

式中：

式中：Dʹ_A为基体替代外径，在本例中可取为平板的宽度，即有Dʹ_A=125 mm。

代入可得变形锥角为：

已知螺栓孔直径d_h为19 mm，代入可得被夹体的柔度为：

基于图2所示的螺栓连接尺寸，本文建立了考虑螺纹的螺栓连接有限元模型，如图3所示。考虑螺纹的螺栓模型属于VDI 2230 Part II中所定义的IV级螺栓模型，可以充分考虑螺纹连接对螺栓和被夹体柔度的影响。关于螺纹网格的建模方法，可以参见《一种螺栓连接结构有限元模型的精细建模方法》。

 

（a）整体有限元模型

（b）螺纹连接细节

图3 考虑螺纹的螺栓连接有限元模型

计算时，需分别在螺栓和螺母的螺纹，螺栓与上被夹体，螺母与下被夹体，上被夹体和下被夹体的分界面之间建立面-面接触对，以考虑螺栓预紧过程中的接触行为，并取各个接触对之间的摩擦系数均为0.1。

计算中取螺栓装配预紧力F_M为100 kN，预紧力通过有限元软件Abaqus中的Bolt Load进行施加，预紧力施加位置设定在螺杆中部。同时，为避免螺栓连接在预紧过程中产生刚体 位移，出于计算收敛性考虑，将被夹体的边角部位的全部阶段与接地弹簧连接，如图4所示，并取接地弹簧的三向刚度为10 N·mm。由于弹簧刚度很小，因此不会对被夹体的变形行为产生影响，但可以极大地提高计算收敛性。

 

图4 接地弹簧设置

在有限元软件Abaqus，部件的弹性应变能可以通过时间历程变量ALLSE输出。为了分别输出被夹体的螺栓的弹性应变能，可以将上、下被夹体和螺栓分别定义单元集，然后为单元集指定时间历程变量ALLSE输出，如图5所示。

图5 单元集 合级别的时间历程变量ALLSE输出

通过有限元计算，图6给出了螺栓连接的轴向压缩应力云图。从图中可以看到，被夹体和螺母在预紧过程中均处于压缩状态。被夹体的压缩变形区域与VDI 2230假设的变形锥存在很大区别，这同样说明变形锥角实际上是基于被夹体的柔度反算出来的，而非直接通过应力云图测量得到的。

图6 螺栓连接轴向压缩应力云图

图7给出了螺栓预紧过程中，各个部件的弹性应变能变化。

 

图7 螺栓连接部件弹性应变变化

可以看到，部件的弹性应变能随预紧力的增大成非线性变化，这是因为预紧力与弹性应变能成二次关系。由有限元计算可以得到，当预紧力F_M为100 kN时，螺栓和螺母的弹性应变能分别为8482.76和863.505 N·mm，两块被夹体的弹性应变能分别为1032.54和1029.78 N·mm。由于螺母对于螺栓的弹性变形也存在贡献，因此在使用弹性应变能法时，将螺母的弹性应变能也归入到螺栓的弹性应变能中，则有：

由此可计算得到螺栓和被夹体的柔度分别为：

通过对比可以发现，采用弹性应变能法计算时，相比于解析法，螺栓柔度的相对误差为1.77%，被夹体柔度的相对误差为9.31%。

建立带有螺纹的螺栓连接模型非常复杂，并且对于含有多螺栓连接的复杂结构，采用带有螺纹的精细螺栓连接模型也是不切实际的。因此，在实际计算时，更多时候采用的是不带螺纹的简化螺栓模型进行建模。

为此，本文采用VDI 2230 Part II推荐的III级螺栓模型进行建模，并研究模型简化对于螺栓连接柔度计算的影响。在简化螺栓模型中，螺栓螺纹采用直径为小径d₃的圆柱体代替，螺母的螺纹部位也需更改为对应的尺寸。此时，螺栓与螺母之间的螺纹连接采用绑定约束模拟。基于III级螺栓模型建立的简化螺栓连接有限元模型如图8所示。由于无需考虑螺纹，因此简化螺栓模型的计算规模要远小于考虑螺纹的精细模型。

 

图8 简化螺栓连接有限元模型

通过简化螺栓模型进行计算可以得到，当预紧力F_M为100 kN时，螺栓和被夹体的弹性应变能分别为：

由此可以计算得到螺栓和被夹体的柔度分别为：

相比于VDI 2230给出的解析解，采用简化螺栓模型进行计算时，螺栓柔度的相对误差为8.13%，被夹体柔度的相对误差为8.57%。

图9给出了采用VDI 2230规范以及基于弹性应变能的有限元法计算得到的连接图对比。

 

图9 VDI 2230规范及有限元计算的螺栓连接图对比

从图中可以看到，通过考虑螺纹的IV级螺栓模型进行有限元计算得到的螺栓连接图与采用VDI 2230规范计算得到的螺栓连接图较为吻合。而采用III级螺栓模型进行计算时得到的连接图存在一定偏差。通过前面的误差分析可以发现，这是由于螺栓模型简化导致螺栓柔度计算存在较大偏差所造成的。这一点从上图中螺栓载荷-位移曲线的斜率也可以体现。而螺栓模型简化对于被夹体柔度的计算影响很小。由于螺栓规格是确定的，采用VDI 2230规范计算螺栓柔度相对是容易的。因此，在实际计算时，可以采用VDI 2230规范与有限元法结合的方式，即通过III级螺栓模型进行建模来计算被夹体柔度，而采用VDI 2230规范来计算螺栓柔度。

（1）本文采用有限元法，基于弹性应变能进行螺栓连接柔度计算。当采用考虑螺栓的IV级螺栓模型进行螺栓连接有限元建模时，由有限元法计算得到的螺栓连接柔度与VDI 2230规范吻合良好。

（2）当采用不考虑螺纹的III级螺栓模型进行有限元计算时，螺栓简化对于螺栓柔度的计算精度有较大影响，但对于被夹体柔度的计算精度影响很小。在实际计算时，可采用VDI 2230规范计算螺栓柔度，采用III级螺栓模型计算被夹体柔度。