三维极限平衡分析理论概述(3D LEM)
1 引言
尽管目前以有限元和离散元为代表的数值模拟技术发展得已经很成熟，但在实践的工程应用中，极限平衡法(LEM)用于评估边坡稳定性仍然占据着主导地位，包括采矿边坡的稳定性分析(岩石力学)以及尾矿坝的稳定性分析(土力学)。与此同时，传统的二维极限平衡分析也正逐渐与三维极限平衡分析同时使用，或被三维极限平衡分析取代【采矿边坡稳定性评价报告框架(V1)】。工程咨询报告的主要意图是使用成熟的技术方法 论对特定的研究对象进行分析和评估，因此在报告中应尽量避免详细描述工具软件的理论和公式推导过程，即使硕士论文和博士论文的写作，假如着重点是工程应用而不是算法改进，也不应该大篇幅介绍其工作原理。在近期完成的一份边坡稳定性评价报告中，评审专家要求补充三维极限平衡方法的计算原理和公式。作为报告修改内容的一部分，本文简要描述了三维极限平衡分析的理论背景。三维极限平衡边坡稳定性分析本质上与二维方法的概念相同。在二维极限平衡分析中，滑动块被离散成垂直的切片(条)；而在三维极限平衡分析中，滑动块被离散成具有正方形横截面的垂直柱体。不过，尽管使用垂直柱体进行三维极限平衡边坡稳定性分析在概念上很简单，但在实践中，实现高效准确的计算却并非易事。三维分析面临着许多二维方法所没有遇到的障碍，其中最重要的问题之一是如何高效地搜索未知的关键三维滑动面。此外，在二维边坡稳定性分析中处理拉伸应力时遇到的问题在三维分析中也会被放大。早期研究者们提出的3D LEM方法存在着多种限制，例如：需要象2D那样假定滑动方向；需要假定对称平面；不满足水平力和/或力矩平衡；需要使用局部坐标系；只能使用球形或平面搜索关键面。
Huang、Tsai和Chen(2002)提出了对三维边坡稳定性分析的重大改进，并在此基础上由Cheng和Yip(2007)进一步扩展。改进包括：
(1) 在两个正交方向上满足力和力矩平衡；
(2) 不需要假定滑动方向；
(3) 三维方程组是静定的
三维极限平衡计算xy，xz和yz三个平面上力的平衡： X-Y平面是水平面，Z轴是垂直方向， f1、f2、f3 和 g1、g2、g3分别是沿着Si和Ni方向的单位向量。计算步骤如下：(1)首先，考虑单个柱体的垂直力平衡(Z方向)。对于第i个柱体：(3)总体在X和Y方向上的力和力矩平衡由以下方程式描述：(4) 如果令Fx=Fy=Fmx=Fmy，则可以确定方向性稳定系数 Fx、Fy、Fmx、Fmy 的方程式。找到满足这三个方程的 F、lamdax、lamday、aprime(滑动方向)的值。BishopSimplified
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