VDI 2230规范学习笔记2：同心夹紧单螺栓连接柔度计算

引言

相对而言，对于螺栓柔度的计算较为简单。首先考虑一个均匀截面的杆件，已知其长度为l，材料弹性模量为E，如果在其两端作用外载F，则由材料力学知识可得杆的伸长量Δl可表示为：

式中：A为杆的截面积。

杆的柔度可以视为单位载荷作用下杆的变形量，因此其柔度可表示为：

对于变截面杆件，我们可以将其分割为若干个等截面的杆件，若已知其中第i个杆件的长度为l_i，其对应的截面积为A_i，则变截面杆件的总柔度δ可以视为这些等截面杆件的柔度δ_i的叠加，即有：

注意这里需满足

VDI 2230在计算螺栓柔度时采用了同样的思想，即将螺栓视为一个非均匀截面的杆件，然后将其分割为若干个等截面的杆件，分别计算其相应的柔度值。在VDI 2230中，螺栓被分割为如图1所示的若干部分。

图1 螺栓柔度计算

图中l_K为夹持部分的长度，该部分的长度被细分为螺杆部分长度l₁，螺杆直径缩小段长度l₂和未旋合螺纹长度l_Gew。除此之外，VDI 2230还考虑了螺栓头和旋合螺纹的柔度，分别定义了其对应的等效长度l_SK和l_GM。需要注意的是，该长度与螺栓头的厚度以及旋合螺纹的长度并没有直接关系，因为并非整个螺栓头和整段旋合螺纹均参与弹性变形。因此，VDI 2230将其长度考虑为一个与公称直径d有关的量。关于上述柔度的具体定义，参见VDI 2230 Part I的5.1.1节，这里不再赘述。最终可以得到螺栓柔度为各分段柔度的总和，即有：

相比之下，对于被夹体柔度的计算则更为复杂，这是因为当被夹体在螺栓预紧力作用下被夹紧后，并非整个被夹体均会产生压缩变形。例如，图2给出了一个同心夹紧螺栓在预紧状态下被夹体的轴向应力分布。图中彩色 区域代表存在压应力的区域，而白色 区域为拉应力区域，由于拉应力远小于最大压应力，在这些区域可以认为被夹体处于未变形状态。因此，只有图中的彩色 区域对于被夹体的弹性变形有贡献。

图2 预紧状态下被夹体轴向应力分布

由于支承面是关于螺栓轴对称的，因此在三维空间中上图所示的应力分布也关于螺栓轴旋转对称。基于上图所示的应力分布确定被夹体柔度非常困难，因为被夹体变形区域的形状并不规则，其次，如果将被夹体分割为若干个变形层，在每一个变形层内的压应力分布也并不是均匀的。为了便于理论计算，VDI 2230提出采用如图3所示的一个变形锥的柔度来等效表示被夹体的柔度。

图3 被夹体变形区域的等效表示

这个变形锥在被夹体表面的直径等于螺栓头或螺母支承面直径d_W，并且以锥角φ向下上、下被夹体的分界面延伸。在该变形锥内，假设每一层变形层内的应力分布均是均匀的。需要注意的是，当变形区域以变形锥的形式向下扩散时，如果被夹体的截面尺寸较小，或厚度较大，则有可能出现变形锥被提前截断的情况，此时将形成如图4所示的变形锥与变形筒的组合。此时，被夹体的柔度等于变形锥与变形筒柔度之和。

图4 通孔螺栓（TBJ）的变形锥与变形筒示意图

不难发现，只要被夹体的替代外径D_A大于变形锥延伸至分界面的极限直径D_A,Gr，则变形锥不会被截断，从而只形成变形锥。对于上图中的通孔螺栓（TBJ），设被夹体的厚度（夹紧长度）为l_K，则变形锥的极限直径为：

因此，被夹体仅形成变形锥的条件为：

需要注意的是，对于盲孔螺栓（TTJ），VDI 2230并没有将其视为两个替代变形锥或变形筒，而是将下被夹体视为一个虚拟螺母，而仅考虑上被夹体的柔度，如图5所示。

图5 盲孔螺栓（TTJ）的替代变形锥和变形筒

可以看到，图中的夹紧长度l_K仅包含上被夹体，而没有包含下被夹体，这与通孔螺栓中夹紧长度的定义有所区别。此时被夹体的柔度应为上被夹体柔度δ_P，而下被夹体的柔度则应该被计入到螺栓柔度δ_S中。

假设被夹体仅由变形锥构成，下面推导被夹体等效变形锥柔度计算公式。VDI 2230 Part I假设预紧螺栓传递到被夹体上的压缩应力在沿螺栓轴线方向的任意截面内是均匀分布的。基于此假设，如果假设被夹体的变形区域是一个等效的圆锥体，如图5所示，则其柔度可通过如下所示的方式进行计算。

图6 变形锥柔度计算示意图

首先，在该等效圆形圆锥体中取出一个圆环形的微元进行分析，若已知该圆环形微元距离支承面的轴向距离为z，则圆环的内径为d_h，外径为d_w+2ztanφ，因此圆环的截面积可表示为：

已知圆环的厚度为dz，则该微元体的柔度可表示为：

将上式沿被夹体的厚度L积分，则可以得到变形锥柔度为：

在基于变形锥理论计算被夹体柔度时，需要确定变形锥的锥角φ。变形锥锥角与周围材料的支承效果和被夹体的厚度均有关系。对于通孔螺栓（TBJ）和盲孔螺栓（TTJ），VDI 2230分别给出其对应的锥角如下所示：

式中：

式中：Dʹ_A为基体替代外径。

笔者推测，这里的公式可能是通过建立具有不同几何尺寸的被夹体有限元模型，通过计算其柔度并反推出变形锥的锥角，然后拟合锥角与几何尺寸的关系得到的。

相比之下，对于变形筒柔度的计算则较为简单。设变形筒的高度为L，已知其内径为d_h，外径为被夹体接合面的平均直径D_A，则变形筒的柔度可表示为：

在导出变形锥和变形筒的柔度计算公式后，即可确定被夹体柔度δ_P。