VDI 2230规范学习笔记1：同心夹紧单螺栓连接的载荷-变形分析

引言

考虑如图1所示的一个单螺栓连接结构，图中上、下两块被夹体通过螺栓和螺母连接在一起。当螺栓预紧之后，被夹体会产生压缩变形，由于被夹体关于螺栓轴线对称分布，被夹体在变形之后，其横向变形中心轴线同样与螺栓轴线重合，因此这是一个同心夹紧的单螺栓连接。

 

图1 同心夹紧螺栓连接受力分析

在预紧状态，假定螺栓受到的预紧力为F_M，若取螺栓为研究对象，则螺栓将同时受到预紧力和作用于螺栓头和螺母支承面的支持力的作用，在两力作用下螺栓处于平衡状态，如图1中的左图所示。

我们将螺栓受到工作外载作用下的状态称为工作状态。假定有一工作载荷F_A作用于螺栓和螺母的支承面，并且工作载荷的作用线通过螺栓轴线，如图1中的右图所示，因此这是一个同心加载的螺栓。

在工作外载的作用下，螺栓会被伸长，这会使得螺栓、螺母的支承面与被夹体之间产生间隙。由于被夹体同样为弹性体，因此被夹体的压缩变形量会被部分释放，用于填满该间隙。设螺栓的轴向伸长量为f_SA，被夹体的轴向伸长量为f_PA，根据前面的位移协调变形条件，显然有：

如果取工作状态下的螺栓为研究对象，则螺栓在工作外载F_A、螺栓载荷F_S以及残余夹紧力F_KR的作用下处于平衡状态：

显然，在预紧状态下，螺栓的工作载荷即为预紧力F_M。在工作外载F_A的作用下，螺栓的工作载荷从预紧力F_M增长为F_S，我们将螺栓工作载荷的增加部分称为螺栓附加工作载荷F_SA，因此有：

同样地，在预紧状态下，被夹体所受的夹紧力即为预紧力F_M，在工作外载F_A的作用下，被夹体所受的部分夹紧力被释放，其夹紧力从F_M变化为残余夹紧力F_KR，我们将被夹体所受的夹紧力的变化量定义为F_PA，并且有：

根据胡克定律，我们有：

式中：K_S和K_P分别为螺栓和被夹体的刚度。

根据位移协调变形条件有：

已知螺栓和被夹体的刚度和柔度满足如下所示的关系：

因此可以得到：

下面，我们尝试建立工作外载F_A与螺栓附加工作载荷F_SA之间的关系。已知

代入原式可得：

整理后得到：

上式说明，虽然螺栓承受了工作外载F_A的作用，但由于预紧力的存在，仅有一小部分工作外载分配给了螺栓，使得螺栓的工作载荷F_S有所增加，这也是为什么螺栓承受了很大的工作外载也不容易发生断裂。当工作外载F_A一定时，螺栓工作载荷的增加量F_SA取决于螺栓和被夹体的柔度比。减小螺栓柔度δ_S，或增大被夹体柔度δ_P，均会增大螺栓的工作载荷F_SA。这是非常容易理解的，如果减小螺栓柔度，则会使得螺栓变得更硬，则必然会承受更多的工作外载。

由于工作外载被分配给了螺栓和被夹体，因此必然有：

通过上式可以很容易导出螺栓附加工作载荷F_SA与工作外载F_A之间的关系。

上述对于同心夹紧且同心加载螺栓的受力分析也可以借助载荷-位移曲线完成。考虑螺栓处于初始预紧状态时的情形，此时螺栓受到预紧力F_M的作用，而被夹体承受的夹紧力同样为预紧力F_M（见图1的左图）。尽管此时螺栓和被夹体承受的载荷是一致的，但由于螺栓和被夹体的柔度并不相同，因此其变形量也并不一样。我们设螺栓由于预紧力作用而产生的变形量为f_SM，被夹体由于夹紧力作用而产生的变形量为f_PM。并且，由于螺栓的柔度一般要远大于被夹体的柔度，因此螺栓的变形量通常要大于被夹体的变形量。

在线弹性和小变形条件下，显然螺栓和被夹体的变形量均随载荷的增大而线性增加，因此其载荷-位移曲线均为直线。我们将螺栓和被夹体的载荷-位移曲线放置于同一坐标系中，形成如图2所示的连接图（Joint Diagram）。

 

 

图2 同心夹紧螺栓连接图（初始预紧状态）

注意，标准的连接图将纵坐标轴放置于左侧，这非常具有误导性。实际上，将纵坐标轴放置于红点位置更为合适，这样左侧和右侧的横坐标分别代表螺栓和被夹体的变形量。

同样地，如果我们在螺栓头和螺母的支承面上施加工作外载F_A，则螺栓的工作载荷会增大。我们假设加载过程中被夹体接合面的接触状态不会发生变化（当被夹体被充分压紧时，该条件一般是满足的，并且也是VDI 2230有效的前提），则螺栓和被夹体的柔度均不会发生改变，因此可以直接延长螺栓的载荷-位移曲线来获得对应的载荷和位移值，此时的连接图如图3所示。

 

 

图3 同心夹紧螺栓连接图（工作状态）

图中另一个非常具有误导性的点为纵坐标的载荷并非代表工作外载F_A，而代表螺栓的工作载荷或被夹体所受的夹紧力。工作外载只能通过图中的变形量来间接确定。例如，当施加工作外载F_A后，将螺栓的载荷-位移曲线延长，如图中红色曲线所示，此时位移的变化量即为螺栓的位移变化量f_SA，根据位移协调变形条件，该变化量也为被夹体的位移变化量f_PA。因此，被夹体所受的夹紧力也会沿被夹体的载荷-位移曲线下降至红点位置，此时对应的载荷即为被夹体所受的夹紧力F_KR。红线端点对应的载荷即为螺栓工作载荷F_S。显然从F_S到预紧力F_M所对应的载荷增量即为螺栓的附加工作载荷F_SA，从F_M到F_KR的载荷减少量即为被夹体所受夹紧力的变化量F_PA。从图中同样可以得到：

因此，我们可以绘制出一个更易于理解的连接图，如图4所示。

 

 

图4 同心加载螺栓连接图（易理解版）

通过前面的分析可知，螺栓所受的工作外载F_A只有一小部分分配到螺栓上，即螺栓附加工作载荷F_SA，而分配的大小取决于螺栓和被夹体的柔度比。因此，我们将其定义为载荷分配系数Φ_K：

因此有：

事实上，即使对于同心夹紧且同心加载的螺栓，其真实的载荷分配系数也可能小于Φ_K。因为载荷分配系数不仅与螺栓和被夹体的柔度比有关，也与工作外载的作用位置有很大关系。以上分析仅适用于工作外载作用于螺栓头和螺母支承面时的情况。

下面，考虑工作外载F_A作用于被夹体时的情况，如图4所示。

 

 

图5 同心夹紧螺栓受力分析

假定工作外载F_A分别作用于被夹体的1-1截面和2-2截面位置，两个截面之间的距离为n·l_K（0≤n≤1）。这里l_K为螺栓和螺母之间的夹紧长度。注意，为了使受力分析图更为清晰，工作外载F_A被绘制在偏离螺栓轴线的位置，但仍假定其作用方向通过螺栓轴线，因此螺栓为同心加载。

从图中可以看到，在工作载荷作用下，1-1截面和2-2截面之内的被夹体材料将会被伸长，使其压缩量部分回复；但1-1截面以上和2-2截面以下的被夹体材料将会被压缩。这与工作外载作用于螺栓头和螺母支承面时的受力状态显著不同。

尽管如此，我们仍然可以将螺栓和部分被夹体等效为一个虚拟螺栓，并将1-1截面和2-2截面作为虚拟螺栓的支承面，这样我们仍可以按照前面的方法进行受力分析，如图4右图所示。

由于此时被夹体的长度变短，因此此时被夹体的柔度变为：

由于此时部分被夹体的柔度被计入到螺栓中，则此时螺栓的柔度变为：

同样根据胡克定律可得：

式中：F_SAn和F_PAn仍为工作载荷F_A分配到螺栓和被夹体上的载荷，因此有：

而根据位移协调变形条件同样有：

联立上面各式最终可以得到：

我们同样可以定义当工作外载作用于被夹体上时的载荷分配系数Φ，为了区分工作外载作用于螺栓头和螺母支承面时的载荷分配系数Φ_K，我们将其定义为Φ_n。因此有：

从上式可以看到，由于0≤n≤1，因此相比于工作外载作用于螺栓头部和螺母支承面时的情况，工作外载作用于被夹体上时分配到螺栓上的附加工作载荷会更少，并且分配的比例还取决于工作外载的作用位置。在极限情况下，当n=0时，工作外载作用于上、下被夹体的分界面处，螺栓附加工作载荷F_SAn为零，说明全部的工作外载将由被夹体承担。

同样地，我们可以根据上述虚拟螺栓，做出对应的载荷-位移曲线。由于部分被夹体的柔度被附加到了螺栓上，因此螺栓的柔度变大，刚度变小，螺栓的载荷-位移曲线将变得更加平缓；而被夹体的柔度变小，刚度变大，因此被夹体的载荷-位移曲线将变得更加陡峭，如图5所示。

 

 

图6 同心夹紧螺栓连接图（n<1）

事实上，这里的系数n即为螺栓连接的载荷引入系数。VDI 2230指出，通过更复杂的力学模型进行研究发现，载荷引入系数n除了与工作外载作用高度有关，还与工作外载作用点与预紧区域的距离，以及被夹体的厚度均有关系。显然，确定载荷引入系数n的最可靠的方法是直接测量螺栓连接结构中的螺栓载荷。

由于确定系数n具有相对较大的不确定性，因此早期的VDI 2230给出如图5所示的值作为参考。这里载荷引入系数n的定义为被夹体无负荷长度（n·l_K）与夹紧长度l_K之间的比值，这与本文前面的推导是一致的。但是，该定义只在D_A≤d_W的情况下有效。因为在此条件下，所有截面在预紧力下保持为平面。

图7 载荷引入系数n参考值（早期VDI 2230规范）

在现行的VDI 2230中，n是在边界元分析结果的基础上确定的。此时，n定义为：

这里，f_V1和f_V2为螺栓支承面的位移，f_VK1和f_VK2为工作外载作用点K处的位移，如图6所示。

 

 

图8 从预紧螺栓的变形中确定载荷引入系数n

关于载荷引入系数的具体确定方法，参见VDI 2230 Part I的5.2.2节。注意，以上的工作仅适用于同心夹紧的螺栓连接，对于偏心夹紧的情况，则更为复杂，目前只能做近似修正（参见VDI 2230 附录C2 第6条）。因此，对于复杂的螺栓连接，精确计算载荷引入系数n仍然非常困难。