什么叫做壁面函数，为什么引入壁面函数的概念??

因为流体无论流动，还是传热、传质都存在边界层。而之所以有壁面函数这个东西，根源就在于边界层理论。

大家都知道什么是边界层理论，我们想要理解壁面函数，就必须搞清楚边界层理论的产生对数值计算带来了什么影响？？？。

边界层分为速度边界层、热边界层和浓度边界层。

速度边界层：当具有粘性的流体，经过壁面附近，流速下降，直接贴附于壁面的流体静止不动的一个薄层。

热边界层：指黏性流体流动壁面附近形成的以温度剧变为特征的流体薄层。

热边界层厚度：

其中δ表示速度边界层的厚度，δt表示热边界层的厚度

浓度边界层：某组分在流体中的浓度与固体壁面的浓度存在差异，则在壁面垂直方向上的流体内部将存在浓度梯度的流体薄层。

浓度边界层厚度

其中δ表示速度边界层的厚度，δc表示热边界层的厚度，

这三种边界层都有一个共同的特点，那就是某个物理量A发生剧变，在边界层内产生非常大的梯度，且越靠近边界层梯度越大。而在边界层外，物理量A与主流中的物理量A值几乎相等，不存在梯度。

为了获得更加精确的计算结果，必须对边界层内的物理量梯度进行非常细节的捕获，如果捕获呢？？我们首先冒出来的想法---网格加密

边界层网格加密是一个方式，将边界层网格画的非常密，越靠近边界层网格越密，这样可以捕获更多的细节，同时计算也会更加准确。

但是边界层网格加密存在两个缺点：第一，网格数量大大增加，为了获取更多的细节，需要不断细化网格，计算时间大大加长；

第二，网格质量变差，边界层网格的加密，导致网格的纵横比非常大，甚至达到上百，高纵横比可能会导致计算难以收敛，甚至发散。

有没有一种方法，既不需要划分更多的网格，同时还能捕获更多的边界层细节呢？？

于是乎，大佬们想出了这样一种办法。既然边界层内的物理量细节难以捕获，那么直接通过实验获得边界层内这些物理量的变化规律，然后将这些规律直接应用到数值计算不就可以了吗？？实际上也确实是这样做的。

通过对边界层的研究，将边界层分为了三个区域，分别为粘性底层(0<y+<5)、缓冲层(5<y+<30)和完全湍流层(y+>30)。

这里用两个无量纲物理量u+和y+来定义边界层内的规律更具有普遍性。

u+表示无量纲速度，u表示边界层内流体速度，τw为壁面切应力

y+表示到壁面处的无量纲距离，y表示边界层某点到壁面的距离，v表示流体运动粘度m2/s。

对边界层这三个区域进行了大量的实验，结果表面这三个区域内u+和y+的规律不同。对于粘性底层(0<y+<5)，u+与y+近似呈线性关系；对于完全湍流层，u+与y+近似呈对数关系，被称为对数律；对于缓冲层，线性关系曲线和对数律曲线在缓冲层有交点，交点所对应的y+值在11附近。

 4.1 壁面函数的概念

既然已经知道边界层内的规律了，那么就不必在边界层内画很密的网格，而直接使用实验规律来计算边界层内的流体流动、传热传质等问题。

Fluent软件提供了一种被称为壁面函数的方式来实现上述的思想。壁面函数是一种半经验公式，被用来连接壁面和完全湍流区域之间的粘性影响区域。

壁面函数以对数律为基础来计算边界层规律，其忽视了粘性底层和缓冲层。因此我们画边界层网格时不能画出粘性底层和缓冲层，而要直接画到完全湍流层。

也就是说使用壁面函数，我们不但不需要在边界层内细化网格，反而必须要保证第一层网格处于对数律能够应用的范围。

我们通常将即y+=15处作为可以使用对数律的分界线，所以第一层网格要保证y+>15。第一层网格大小可以由下式推导：

Fluent使用另一种无量纲速度u*和无量纲距离y*来描述边界层内的规律

u+，y+与U*，y*在湍流边界层中近似相等，我们应用时直接用u+，y+即可。

注：使用壁面函数确实简化了边界层的网格，但是也忽略了粘性底层和缓冲层，因此壁面函数的方法适用于粘性底层数据不重要的求解。

如果我们想要研究的就是粘性底层的数据，如边界层分离现象，那么壁面函数的方法很不适用。Fluent提供了另外一种方式用于求解粘性底层。

4.2 y+的确定

为了留出一定的余量，保证计算结果的准确性，Fluent要求y+必须大于15，如果y+小于15，Fluent就无法保证求解的准确性。y+的下限为15，y+的上限则取决于雷诺数。

对于高雷诺数：如轮船，飞机等，对数律范围扩大，y+上限可以取到几千，减少网格数量

对于低雷诺数：如涡轮叶片等，y+上限可以取到100

对于很低的雷诺数：对数律范围很窄，为了保证y+>15，可能会使边界层网格层数很少，计算结果变差，因此不建议使用壁面函数。

注：相较于纠结y+的选取，边界层的网格层数足够时，能得到更精确的数值结果。

对于非结构网格，边界层网格层数在10-20之间，对于边界层Prism棱柱层网格，要保证边界层内至少15个节点。

4.3 边界层厚度

想要在边界层内画足够数量的网格，需要知道边界层的厚度。如何得到边界层厚度呢？

Fluent提供了一种估算方法。当我们大致划分网格进行计算得到一个求解结果时，可以在后处理查看turbulent viscosity湍流粘度物理量。

Results-Plots-XY plot

在垂直壁面方向画出turbulent viscosity沿垂直壁面方向的曲线图，turbulent viscosity的最大值出现在边界层的中间，最大值出现位置的2倍即为边界层的厚度。

比如下图为文章后源文件案例的湍流粘度，在x=0.01m处达到最大值，可以认为边界层厚度为0.02m。

对于某些特殊工况，边界层厚度也可以由理论公式推导出来

最后我们回到最关心的问题，边界层第一层网格如何确定？

当我们在Fluent中选择壁面函数时，必须要保证y+>15。

由此可一步步反推第一层网格高度y的值。式中ρ为流体密度，U为流体主流速度，U∞为流体动力粘度，d为特征长度。

估算雷诺数Re

估算壁面摩擦系数

估算壁面剪切应力

估算

计算边界层第一层网格

以上流程化的东西都可以通过编程实现

进行了一定的验证后发现，似乎是由于Fluent基于有限体积法，因此上述求出的第一层网格高度y实际上只是网格中心到壁面的距离，真正的第一层网格高度应该为此值的2倍。（自己理解，欢迎私信批评指正）下面的程序已进行修正。

前面介绍了壁面函数的由来及相关的理论，这里我们介绍Fluent中壁面函数的选取依据。牢记：使用壁面函数的前提是y+>15

Fluent在两种湍流模型中需要选择壁面函数分别是k-e模型和Reynolds Stress雷诺应力模型，其他的湍流模型不必考虑壁面函数的问题，同时也不必考虑y+问题，我们后面会详细说明。

Fluent提供了四种壁面函数以供选择，分别是：

2.1 Standard Wall Functions

标准壁面函数是由Launder and Spalding提出的，广泛应用于工业流体流动，是Fluent默认的壁面函数。但是我们计算时尽量不要使用这种壁面函数。

标准壁面函数使用典型的对数律：

式中，κ= 0.4187为卡门常数；E= 9.793为经验常数；Up为紧邻壁面网格中心速度；kp为紧邻壁面网格中心湍动能；μ为动力粘度。U*和y*是Fluent中的无量纲物理量，等同于u+和y+。详情可查看四十五、壁面函数理论及y+的确定

标准壁面函数对y+要求非常严格，y+必须大于15，如果低于这个值，求解结果准确性会变得很差。其他的壁面函数对于y+的要求有所宽松，但尽量还是保证y+>15。

上述公式是对边界层内速度的近似，对于能量方程、组分方程和湍流方程同样有近似规律，这里不做介绍。

2.2 使用限制

标准壁面函数基于壁面恒剪切应力和局部平衡假设，因此当近壁流动受到很大的压力梯度的影响时(边界层分离)，即流动处于非平衡状态时，预测结果可能会不准确。

其实就是因为标准壁面函数忽略了粘性底层，当粘性底层存在大压力梯度时，计算结果肯定是有问题。

3.1 Scalable Wall Functions

顾名思义，Scalable Wall Functions在标准壁面函数的基础之上进行了扩展。当y*<11时，标准壁面函数是无法使用的，而Scalable Wall Functions可以正常使用。

式中y*limit=11.25

如果y*>11.25，就取它自身的值。如果y*<11.25，就直接令y*=11.25。也就是说，y*>11.25时，Scalable Wall Functions和standard wall function功能相同。但是如果y*<11.25，那么小于11.25的网格结果相同，且都等于11.25时的规律。

举个例子，如果我们有三层网格的y*<11.25，那么这三层网格的y*直接按照等于11.25计算的，计算结果肯定是相同的。

3.2 使用限制

在y*问题上，Scalable wall functions比标准壁面函数应用范围要广，但是和标准壁面函数相同，当近壁流动受到很大的压力梯度的影响时(边界层分离)，当流动处于非平衡状态时，预测结果可能会不准确。

4.1 Non-Equilibrium Wall Functions

由于Standard Wall Functions和Scalable wall function对于壁面压力梯度较大时都不适用，因此需要提出一种新的方式来解决这个问题。Fluent提供了Non-Equilibrium Wall Functions。

Non-Equilibrium Wall Functions基于两层假设来计算壁面剪切应力τw、湍动能k和湍动能耗散率e。而和压力梯度相关性不大的物理量如能量方程、组分方程等则和标准壁面函数保持一致。

yv为粘性底层的厚度，y为网格到壁面的距离。y处于粘性底层和粘性底层之外时，分别使用不同的公式来描述流动。

4.2 使用限制

通过这种方式，Non-Equilibrium Wall Functions能够弥补标准壁面函数的缺陷，适用于分离、撞击等复杂流动

为了对比上述的内容，我们使用一个案例加以说明，案例的源文件在公 众号文章chapter45中。

5.1 网格情况

以下使用标准壁面函数进行计算。

5.2 两壁面Y+

5.3 速度云图

5.4 扩展的壁面函数对比

尽管基于标准壁面函数做了很多改进如Scalable Wall Functions和Non-Equilibrium Wall Functions，但是壁面函数仍然存在一些问题。

壁面函数基于对数律，要么忽略粘性底层，要么对粘性底层进行修正，对于粘性底层的求解仍然不够精确，因此对于以下问题，壁面函数并不适用：

既然壁面函数存在一些适用不了的工况，那么我们就想研究这样工况应该怎么办呢？？

还记得四十五、壁面函数理论及y+的确定文章，对于边界层细节捕捉问题，其实是有两种处理方法的。第一种就是我们刚刚介绍的壁面函数的方式，第二种是我们刚开始就想到的加密网格的方式。

本来为了减少网格数量，我们想到使用壁面函数。现在壁面函数无论如何满足不了需求了，我们就只能回归老本行，通过加密网格的方式来捕获细节。

Fluent提供了两种方式用来专门捕获壁面处细节Enhanced Wall Treatment和Menter-Lechner。这部分我们下篇文章再详细讲解。

1) 壁面函数只会出现在k-e模型和Reynolds Stress雷诺应力模型

2) Standard Wall Functions：适用于高雷诺数流动，要求y+>15

3) Scalable Wall Functions：也适用于高雷诺数流动，但对于y+要求比较宽松，但尽量满足y+>15。不要用Standard Wall Functions，而尽量选择Scalable Wall Functions

4) Non-Equilibrium Wall Functions：适用撞击、分离等问题，y+<15也可以使用。

5) 如果不想考虑那么多，就直接使用Scalable Wall Functions

虽然进行了壁面函数的推荐，但实际上对于k-e模型和Reynolds Stress雷诺应力模型，Fluent推荐不要使用壁面函数，而使用近壁面处理。限于篇幅，下篇文章详细讲解。

前面介绍了壁面函数的由来及相关的理论，我们已经知道，壁面函数只考虑了对数律的适用范围，而完全忽略了粘性底层的影响。

但是对于一些工况，我们所关注的点就是粘性底层物理量的规律，比如边界层分离现象，这时候壁面函数就不再适用了。参考文章四十六Fluent壁面函数的选取依据，只要有以下的情况，壁面函数就不可用了。

那应该如何处理呢？？？

我们只能回到最初的想法----对边界层网格进行加密，同时对湍流模型进行修正，使其能够对粘性底层进行求解。

2.1 Two-Layer Model

y为网格中心到壁面的距离。

如果Rey<200，流体处于粘性底层区，使用Wolfstein一方程求解；如果Rey>200，流体处于完全湍流区，使用k-e模型或者雷诺应力模型求解。

增强的壁面处理（Enhanced Wall Treatment）能够在整个近壁区域（即粘性底层，缓冲区和完全湍流外区域）都适用，这种方式将线性律和对数律组合在一起，从而扩大模型的使用范围。

2.2 混合函数

其中a=0.01，b=5。

当y+很小约等于1时流体处在粘性底层，流动规律符合线性律。此时混合函数：

从上能够看出，Enhanced Wall Treatment能够自动根据y+的值选择不同的湍流规律，因此Enhanced Wall Treatment适用于整个湍流区域，对y+不敏感。但是如果想要研究粘性底层，还是必须要将网格划分的足够细才可以。

注：

Enhanced Wall Treatment适用于所有基于e方程的湍流模型，如k-e模型，雷诺应力模型

2.3 壁面函数VS Enhanced Wall Treatment

选用文章四十五的案例，将Standard Wall Functions、Scalable Wall Functions和 Enhanced Wall Treatment进行对比，一侧y+=1，另一侧y+>15。

可以看出，Scalable Wall Functions和 Enhanced Wall Treatment的速度曲线明显比较接近，而Standard Wall Functions在y+=1一侧，出现了较大的误差。

有两种方式可以用来求解壁面边界层流动，分别是壁面函数法和低雷诺数模型。

壁面函数法文章四十五、四十六进行了详细介绍，它对y+要求很严格；而所谓低雷诺数模型，就是考虑到粘性底层的流动，要求y+<1，如果y+>=1，则求解不准确。

这两种模型对于y+要求苛刻，那么有没有一种模型能够对y+不敏感呢？？Menter-Lechner treatment就是这样一种模型。当壁面网格很细，使用低雷诺模型，当壁面网格较粗时，使用壁面函数。

实际上Enhanced Wall Treatment对y+也不敏感。

上文提到Enhanced Wall Treatment依据Rey是否大于200将流动区域划分为粘性底层和完全湍流层。这种划分方法存在一些问题：

1）当湍流强度较低时，流体距离壁面较远，Rey仍然小于200。但Enhanced Wall Treatment方法仍然将这部分流体划分为粘性底层，这显然不正确。

2）当流动处于粘性底层时，一方程用于求解湍流规律，但一方程求解非平衡现象存在问题。

Menter-Lechner treatment方法就是为了解决Enhanced Wall Treatment在低雷诺数时出现的问题。门特-莱克纳近壁处理在湍流动能的输运方程中增加一个源项

式中，Snear-wall仅作用在粘性低层中，用于代替低雷诺数模型。在对数律区域内，Snear-wall自动变为零。

注：

Menter-Lechner treatment方法可用于standard、realizable和RNG k-e湍流模型

混合函数

因此对于所有基于ω方程的湍流模型，都不需要考虑近壁面的处理方式，同样也不需要考虑壁面函数。

如k-ω模型，Transition k-kl-omega ( 3 eqn )模型等。Fluent中基于ω方程的湍流模型界面都没有壁面函数的选项。

这种近壁面处理方式并不能通过界面打开。需要在打开LES模型的前提下，在控制面板输入文本命令：define/models/viscous/near-wall-treatment/werner-wengle-wall-fn?

注：

LES大涡模型在三维模型可以在Fluent湍流模型界面打开，但是二维模型时，需要输入文本命令才能打开LES模型。

文本命令：(rpsetvar 'les-2d? #t)

总结：对于k-e模型和雷诺应力模型，可以选择壁面函数，也可以设置近壁面处理；

对于k-ω模型和Spalart-Allmaras，默认方式就是y+不敏感的近壁面处理方式，不需要进行任何设置。

大家选择壁面函数时，推荐使用以下设置：

1) 对于基于e方程的模型，直接使用Menter-Lechner(ML- e)或者Enhanced Wall Treatment。尽量不使用壁面函数。

2) 对于e方程模型，如果必须使用壁面函数，那就选择scalable wall functions

3) 对于k-ω模型，使用默认的y+不敏感的壁面处理方式。实际上所有基于ω方程的湍流模型都是如此，不需要进行任何壁面函数设置。

4) 对于Spalart-Allmaras模型，使用默认的y+不敏感的壁面处理方式，也不需要进行任何壁面函数设置。