为什么基于高阶有限体积方法的工业软件那么少？

有限体积方法可以在离散意义上满足局部和全局的守恒律，是CFD中最常用的数值求解方法。为何众多基于有限体积方法的软件最高只有二阶精度，鲜见3阶以上精度的有限体积方法？

有人认为，是非结构网格导致了这个现状。这个认识没有触及根本，至少是不全面的。下面我们会看到，即使是最简单的、不考虑一般曲线坐标系的平直结构网格，相比有限差分方法，要实现3阶以上精度，必须付出很多额外代价。

这里以平直结构网格上的三阶有限体积方法为例，展开说明。

在控制体△x内积分，同时定义 ，有

其中，  上式没有引入任何的数值近似，不存在数值误差。它很像一个格式，实际上不是。

其中,  是数值通量。(2)式是我们希望构建的数值格式。这种数值格式能够在离散意义上满足局部和全局的守恒律。而且，这种守恒格式有一个优秀的数学性质：若收敛，解即为弱解（数值通量满足相容性和李氏连续）。

是数值流通量。这样，我们就获得了对应一维守恒方程 (1) 的，具有p阶精度的数值格式 (2)。

至此，问题归于：如何通过第n时间步的平均值，获得网格面上的数值通量？不同于插值，这是从平均值到点值的过程，称为重构。可以证明，譬如下面的重构过程

是线性的，即有

是权系数。模板选择与具体格式有关。

图1 结构网格以及控制体单元示意图

阴影部分为此次考虑的控制体单元

图1中，阴影部分表示的控制体单元上，平均量的定义为

其中,表示u在x方向的平均,表示u在y方向的平均。考虑二维守恒律方程

在 上，对式 (7) 进行平均

我们希望获得如下形式的数值格式

要求满足

p是格式的要求的精度。考虑通量f和g都是非线性函数，比如Burgers方程中，的一次重构过程无法满足上述近似，因为

上述近似过程必须考虑数值积分。高斯积分使用更少的点，可以实现更高的精度。以 为例，为了满足式 (11a) 的精度要求，需要下面的过程

上述第一个“→”表示进行一次x方向的重构，第二个“→”表示在y方向进行一次重构。β是高斯点索引，比如实现三阶有限体积格式β=1,2，而五阶格式则要求β=1,2,3 。

表格1：三阶精度的有限体积格式计算量对比。假设一维三阶精度守恒型有限差分格式的计算量为1个单位。

• 见表格1，3阶有限体积方法，对应二维和三维流动，计算量分别增加了3倍和5倍。

• 见表格2，5阶有限体积方法，对应二维和三维流动，计算量分别增加了4倍和10倍。

一般来说，离散格式的误差可以表示为，E 整体表示格式的分辨率，而p表示格式的精度。分辨率是描述算法的状态，而精度则是描述随着网格加密，算法的误差的变化过程。

如果仅在一个方向进行高阶重构，计算代价与有限差分方法相当。尽管格式仍然是二阶精度，但能够提高格式的整体分辨率。在气动计算领域，这种做法很常见。

这种格式，与传统的二阶Harten TVD格式比较，尽管精度相当，却具备更高的分辨率。相同网格下，这种高分辨率格式能够更准确捕捉流场的精细结构。

• 对于线性守恒方程，上述问题不存在。比如声场计算，一般基于线化的欧拉方程，又比如Maxwell方程等。

• 对于非结构网格上的有限体积方法，额外的重构过程，依然无法避免。模板选择是另外一个棘手的问题。