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能量守恒方程推导

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正文共： 1568字 40图预计阅读时间： 4分钟

最后开展一下能量守恒方程的推导。方程的推导可能有很多方式，笔者的推导方式应该更容易理解，供大家参考。

同样，以控制体为研究对象，能量守恒定律可以表述为：

控制体内的能量变化率=流入控制体的能量-流出控制体的能量+表面力的做功功率+体积源项的功率+体积力的做功功率。

其中，流入、流出控制体的能量包括流动携带的能量的和热传导携带的能量，能量是一个标量，流入控制体为正，流出控制体为负。力的功率等于力的大小乘以速度大小，另外我们规定阻力做功为负，动力做功为正，阻力的方向和速度相反，动力的方向和速度相同。

流体的能量包括内能和动能，控制体内的能量计算式为（其中，括弧内的表达式为单位质量的能量J/kg）：

需要注意的是，上式的密度、内能、速度分量的值均是位于控制体的质心。

控制体内的能量变化率为：

接下来，计算通过介质流动而流入、流出控制体的能量。

根据以下示意图，X方向上通过介质流动而流入、流出控制体的净能量为：

我们注意到，上式(*)的速度分量vx是位于控制体的角落（原点）的，而单位质量能量的参考点是控制体的质心。若我们将密度、能量、速度分量的参考点也调整到质心，则X方向上单位面积通过介质流动而流入（下式蓝色）、流出（下式红色）控制体的净能量也可以表示为：

对该式进行简化，略去二次方以上的高价微量（红色部分）：

将上式乘以dydz得到X方向上通过介质流动而流入、流出控制体的净能量：

可以看出，与式（*）的结果是一致的。

根据以下示意图，Y方向上通过介质流动而流入、流出控制体的净能量为：

据以下示意图，Z方向上通过介质流动而流入、流出控制体的净能量为：

于是，通过介质流动而流入、流出控制体的总净能量为：

接着，计算通过热传导而流入、流出控制体的能量。根据傅里叶热传导公式，热流密度为：

根据以下示意图，X方向上通过热传导而流入、流出控制体的净能量为：

根据以下示意图，Y方向上通过热传导而流入、流出控制体的净能量为：

根据以下示意图，Z方向上通过热传导而流入、流出控制体的净能量为：

于是，通过热传导而流入、流出控制体的总净能量为：

接下来，计算表面力的做功功率。

回顾一下如下的控制体受力分析示意图：

根据以下示意图，法向为X的表面上的表面力做功功率为（注意前文所述的做功正负号）：

根据以下示意图，法向为Y的表面上的表面力做功功率为（注意前文所述的做功正负号）：

根据以下示意图，法向为Z的表面上的表面力做功功率为（注意前文所述的做功正负号）：

接下来，计算体积力的做功功率，体积力的做功功率等于三个体积力分量和对应的速度分量乘积之和：

最后，计算体积源项的功率，体积源项的功率等于体积热密度和控制体体积的乘积：

根据能量守恒定律，可以得到初始形式的能量守恒方程：

再对初始形式能量方程进行展开和整理：

下划线部分可以消去，现分别验证，显然绿色下划线式子为质量守恒方程的表达式

对于红色下划线的消去，我们先展开第一个式子：

我们回顾一下动量守恒方程的初始形式（如下）：

将初始形式动量守恒方程的左边展开，并将三个方向的方程左右两边分别乘以vx，vy和vz，带入到整理后的能量守恒方程，便可以将红色部分消去，注意到体积力做功也被消去了，说明体积力对于内能是没有影响的，只影响动能（体现在动量守恒方程），于是得到能量方程（内能）：

以上方程的应力项需要替换掉，同样应用到流体本构方程（如下）

将本构方程带入到能量方程（内能）中的紫色部分，并整理：

于是最终形式的能量方程如下，其中红色部分为粘性耗散项，大多数问题，粘性耗散是可以不用考虑的（fluent中为可选项），但是对于可压缩流，建议考虑粘性耗散。另外，注意到内能的表达符号为e，实际问题中与焓h对应，可以通过比热、压力等参数与温度对应起来，最终转换为求解温度，这里不深入讨论了。

来源：仿真与工程

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首次发布时间：2023-07-05

最近编辑：1年前

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