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能量守恒方程推导

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正文共: 1568字 40图     预计阅读时间: 4分钟
    最后开展一下能量守恒方程的推导。方程的推导可能有很多方式,笔者的推导方式应该更容易理解,供大家参考。
    同样,以控制体为研究对象,能量守恒定律可以表述为:
控制体内的能量变化率=流入控制体的能量-流出控制体的能量+表面力的做功功率+体积源项的功率+体积力的做功功率
    其中,流入、流出控制体的能量包括流动携带的能量的和热传导携带的能量,能量是一个标量,流入控制体为正,流出控制体为负。力的功率等于力的大小乘以速度大小,另外我们规定阻力做功为负,动力做功为正,阻力的方向和速度相反,动力的方向和速度相同。
    流体的能量包括内能和动能,控制体内的能量计算式为(其中,括弧内的表达式为单位质量的能量J/kg):
    需要注意的是,上式的密度、内能、速度分量的值均是位于控制体的质心。
控制体内的能量变化率为:
    接下来,计算通过介质流动而流入、流出控制体的能量。
    根据以下示意图,X方向上通过介质流动而流入、流出控制体的净能量为:
    我们注意到,上式(*)的速度分量vx是位于控制体的角落(原点)的,而单位质量能量的参考点是控制体的质心。若我们将密度、能量、速度分量的参考点也调整到质心,则X方向上单位面积通过介质流动而流入(下式蓝色)、流出(下式红色)控制体的净能量也可以表示为:
    对该式进行简化,略去二次方以上的高价微量(红色部分):

    将上式乘以dydz得到X方向上通过介质流动而流入、流出控制体的净能量:
    可以看出,与式(*)的结果是一致的。
    根据以下示意图,Y方向上通过介质流动而流入、流出控制体的净能量为:
    据以下示意图,Z方向上通过介质流动而流入、流出控制体的净能量为:
    于是,通过介质流动而流入、流出控制体的总净能量为:

    接着,计算通过热传导而流入、流出控制体的能量。根据傅里叶热传导公式,热流密度为:
    根据以下示意图,X方向上通过热传导而流入、流出控制体的净能量为:
    根据以下示意图,Y方向上通过热传导而流入、流出控制体的净能量为:

    根据以下示意图,Z方向上通过热传导而流入、流出控制体的净能量为:
    于是,通过热传导而流入、流出控制体的总净能量为:

    接下来,计算表面力的做功功率。
    回顾一下如下的控制体受力分析示意图:
    根据以下示意图,法向为X的表面上的表面力做功功率为(注意前文所述的做功正负号):
    根据以下示意图,法向为Y的表面上的表面力做功功率为(注意前文所述的做功正负号):
    根据以下示意图,法向为Z的表面上的表面力做功功率为(注意前文所述的做功正负号):
    接下来,计算体积力的做功功率,体积力的做功功率等于三个体积力分量和对应的速度分量乘积之和:
    最后,计算体积源项的功率,体积源项的功率等于体积热密度和控制体体积的乘积:
    根据能量守恒定律,可以得到初始形式的能量守恒方程:
    再对初始形式能量方程进行展开和整理:
    下划线部分可以消去,现分别验证,显然绿色下划线式子为质量守恒方程的表达式
    对于红色下划线的消去,我们先展开第一个式子:
    我们回顾一下动量守恒方程的初始形式(如下):
    将初始形式动量守恒方程的左边展开,并将三个方向的方程左右两边分别乘以vx,vy和vz,带入到整理后的能量守恒方程,便可以将红色部分消去,注意到体积力做功也被消去了,说明体积力对于内能是没有影响的,只影响动能(体现在动量守恒方程),于是得到能量方程(内能):
    以上方程的应力项需要替换掉,同样应用到流体本构方程(如下)
    将本构方程带入到能量方程(内能)中的紫色部分,并整理:
    于是最终形式的能量方程如下,其中红色部分为粘性耗散项,大多数问题,粘性耗散是可以不用考虑的(fluent中为可选项),但是对于可压缩流,建议考虑粘性耗散。另外,注意到内能的表达符号为e,实际问题中与焓h对应,可以通过比热、压力等参数与温度对应起来,最终转换为求解温度,这里不深入讨论了。
来源:仿真与工程
控制
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首次发布时间:2023-07-05
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余花生
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