质量守恒方程（连续性方程）推导

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    作为一名CFDer，一定要懂得流体力学的三大定律，包括质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律。不知道三大守恒方程的推导过程，应该不是一个合格的CFDer。终极的CFD玩法应该是，推导出守恒方程，然后自己编写程序计算方程。最低级的玩法应该就是玩弄一下CFD软件。个人建议，自己推导出守恒方程；研究一些数值计算方法，适当编写一些程序求解二维守恒方程；在玩弄CFD软件前好好研读一下陶文铨大师的《数值传热学》，搞懂软件是怎么玩的。做了这三件事，应该是一名不错的CFDer。今天，我们来好好推导一下三大守恒方程，之后再回归案例，读者朋友应该多动笔自己推导，通常很难一下子就记住，多练习了就好了。另外，这种非线性偏微分方程的推导涉及到的全微分、偏导数等高等数学知识请自行补习，只能说数学真美。

    我们先进行质量守恒方程也叫连续性方程的推导，这是三个方程中最简单的。

    质量守恒定律为：流进控制体的质量和流出控制体的质量的差值等于控制体的质量变化率，这里质量流量为标量，规定流入控制体为正，流出控制体为负。

    我们研究如下的笛卡尔坐标系下的控制体

    根据如下示意图，X方向上流进与流出控制体的质量之差为：

    式中，dydz为X方向上的通流面积，dxdydz为控制体的体积。

    根据如下示意图，Y方向上流进与流出控制体的质量之差为：

    式中，dxdz为Y方向上的通流面积，dxdydz为控制体的体积。

    根据如下示意图，Z方向上流进与流出控制体的质量之差为：

    式中，dxdy为Z方向上的通流面积，dxdydz为控制体的体积。

    流进控制体的质量和流出控制体的质量的差值为以上三个方向差值之和，为

    控制体的质量变化率为（控制体的体积不变，因此质量变化率即为密度变化率）：

    于是根据质量守恒定律得到如下的连续性方程

    连续性方程存在一些特殊的情形，比如定常（稳态）形式无时间项，方程变为：

    又比如不可以压缩流体的密度是恒定值，方程变为：

    我们用矢量来表示速度：

    并引入哈密顿算子：

    于是，连续性方程又可以表示为矢量形式（注意点乘符号不能丢）：

    当然，我们可以用矢量方程来表示定常形式和不可压缩流体的连续性方程：