Abaqus中的损伤演化准则-3
渐进损伤退化过程中的应力-应变曲线
Abaqus中的损伤演化准则。
定义了损伤的起始点、终点后，再定义损伤下降的过程，就完整的定义了全部损伤相关变量。
Abaqus中的损伤起始和演化准则，这是第三篇学习笔记。
前情提要
在前面两篇学习笔记中，我们简单讨论了Abaqus描述损伤的基本框架，以及介绍了延性金属的损伤起始准则。实际上这东西很简单，就是你要告诉软件，当等效塑性应变达到多少的时候，金属就会发生损伤了。
不同的应力状态下，能承受的等效塑性应变大小不同。应力三轴度越大，表示虽然可能材料的von-Mises等效应力不算很大，但材料内有较大的等三轴静水拉力或压力，这样就更容易让材料内部的微小空腔（微孔洞）扩大从而发生断裂。因此延性损伤准则中，损伤开始时的等效塑性应变是应力三轴度和应变率的函数。
至于Johnson-Cook准则和剪切准则，其实本质上也都差不多。只是将开始发生损伤时的等效塑性应变定义成了其他变量的函数而已。
比如J-C准则只能用于显式分析，其参数与Johnson-Cook本构中的参数比较类似；而剪切准则，则是将损伤发生时的等效塑性应变定义为切应力比和应变率的函数。
在这些内容后面，其实还有金属板材的损伤初始化准则。但我们这里先按下不表。这篇文章来一起学习一下，这个损伤演化功能是怎么玩的。
损伤演化
满足任意一种损伤准则以后，材料就开始发生损伤。从这时开始，损伤演化规律登场。在Abaqus中，使用了一个标量 损伤变量，d_i，来描述刚度退化的程度。因为可以同时定义好几个损伤失效机理，所以这个损伤变量也可以同时有好几个。每一个变量对应一个损伤准则。
分析过程中，任意时刻，材料的应力张量都是根据下面的损伤方程计算：
右边这个头顶上带一横的应力，sigma\bar，代表没有损伤时，应力应该是多少。Abaqus称它为有效应力张量，或未损伤的应力张量。很显然，括号里的 D 就是总损伤变量。当D=1时，该点处的应力降低到零，说明材料已经完全被破坏掉了。在默认情况下，这种时候就要把这个单元删除掉。
总损伤变量 D，将统筹计算用户定义的每一种损伤演化机理造成的影响。
这儿有一个画的稍微复杂一丢丢的图，来展示损伤演化过程中的应力-应变情况：
渐进损伤退化过程中的应力-应变曲线
在D=0那一点处，对应的应力和等效塑性应变，即为损伤开始时的应力和应变。接下来，应变继续增大，但应力却因为损伤的发生而开始减小。如果损伤发生一半进行卸载，则卸载时的弹性模量也会随损伤而变小。
这里有个小问题。当D=1，完全失效的时候，对应的等效塑性应变值，
，它是和单元的特征长度有关的。这太不好了。前面一节就曾讨论过，为了降低网格依赖性，Abaqus换了一种准则。
所以，在损伤演化规律中，不再以完全失效时的等效塑性应变来作为材料参数。取而代之的是等效塑性位移，或者以断裂能耗散值 
的形式来指定。
网格相关性与特征长度
当网格细化时，断裂耗散的能量会随之降低。这样不好。解决方法是，在初始发生损伤以后，改用应力-位移关系曲线。使用Hillerborg在1976年提出来的断裂能量假设，来降低网格相关性。
Hillerborg提出，张开单位面积的裂纹所需要的能量 G_f 是一个材料参数。
我们定义一个与单元积分点相关的单元特征长度 L。断裂能的表达式为：
（哇 看Abaqus文档里的公式用MathJax渲染出来多漂亮）
实在看不懂也没关系。能看出来这个等式最左边的断裂能 G_f 和等式最右边的 等效塑性位移，是一码事，可以相互转换，就行了。所以指定损伤演化的极限时，指定这二者任何一个，都是等价的。
至于公式里出现的一个特征长度，L，这东西则取决于单元的几何形状及单元类型。总之——Abaqus建议你在考虑塑性断裂和单元删除的时候，尽量使用长宽比接近的单元。因为长宽比太大的单元在不同的开裂方向上可能会（因为不同的特征长度）而产生不同的行为。
定义损伤演化方式
根据前面的讨论，我们说采用等效塑性应变会发生严重的网格相关性，所以增加了一个特征长度。那么，我们定义的材料参数变成了损伤时的等效塑性位移，计算方法为：
这东西脑袋顶上挂个点，代表对时间求导。可以简单理解为一个时间步里的增量。
如果你就想让材料在刚满足损伤准则的时候马上失效，你当然可以把失效时的等效塑性位移指定成0. 但……最好别这么做，因为这样会发生很严重的收敛性问题，把静态问题变成动态问题。毕竟隐式静力分析里不包含惯性项。
那么，接下来的问题就很简单了。我们知道了什么时候损伤开始（损伤起始准则）；又定义了什么时候损伤彻底完成（位移准则或断裂能）。还剩下的问题就是，从无损伤到完全损伤这段过程怎么走。
更具体来说，就是等效塑性位移 u^pl，和我们前面提到的损伤变量 d 之间的关系。
这里提供了三种方式：1）表格；2）线性；3）指数。
很好理解，就不再展开细说了。如果你选指数，Abaqus会让你多输入一个参数；选表格，会让你自定义 u 和 d 之间的关系表格。
这些具体公式，帮助文档里都有。看着挺复杂，但实际上对于物理意义来说，它们都不重要。反正真想算准，这些参数都要通过实验来反算求出。
最下面的那个选项 退化，指的是当出现多个损伤准则时，几个准则之间如何叠加。这里不再赘述。
