Abaqus中的损伤起始准则-2-延性损伤准则

三点弯曲试验，理论与仿真对比

上回书说到，Abaqus中支持损伤演化模型。

Abaqus中的损伤演化模型-1

当材料完全损伤以后，可以将相应的单元删除。损伤演化公式使用了一些方法来尽量减少网格依赖性；定义损伤模型，需要定义四部分信息，其中最主要的就是两条：

1. 损伤起始准则；

2. 损伤演化准则。

这部分文档，位于Abaqus文档-材料卷。渐进损伤章节里，延性金属损伤主题下，只有三个部分：1）简介；2）损伤起始准则；3）损伤演化准则。

关于延性金属损伤，对应的帮助文档位置

损伤起始准则

回顾一下：损伤起始准则，描述的是什么时候达到图中的c点。达到c点之前，材料没发生损伤；达到c点之后，损伤开始。至于后面损伤如何演化，c-d曲线部分，那不归起始准则管，而是损伤演化关心的事儿。

单轴拉伸曲线，c-d描述损伤过程.

损伤起始准则主要分为两大类：用于金属断裂和金属薄板失稳。

延性金属损伤的起始准则，Abaqus界面

损伤起始准则的分类

每一个损伤起始准则，都有一个对应的输出变量，用于指示分析过程中是否达到了该准则。1.0或更高的数值表示已经达到对应的损伤准则了。

对于某一材料，可以同时指定好几个损伤准则。它们相互独立，单独计算。一旦达到了某一个损伤准则，材料的刚度就开始按这个准则里写的损伤演化规律开始下降。但你要是没定义损伤演化规律，那材料的刚度就不会下降，只会输出该损伤准则对应的变量数值，告诉你这地方要破坏了。

金属断裂的准则

主要有两个机制会让延性金属发生断裂：

• 金属内 微孔洞的成核、生长和聚合导致的韧性断裂；

• 剪切带局部化导致的剪切断裂。

这俩机制具体是啥，有一篇2004年的论文详细描述了这个问题。

1. Hooputra,  H., H. Gese, H. Dell, and H. Werner, “A Comprehensive Failure Model for Crashworthiness Simulation of Aluminium Extrusions,” International Journal of Crashworthiness, vol. 9, no. 5, pp. 449–464, 2004.

天大居然没有开通这篇文章的访问权限。Sci-Hub，yyds！

作者是来自BMW集团的大佬。真的是，巴伐利亚发动机厂在各种仿真软件的技术文档里出现频率可太高了，不愧是世界顶级车企啊。这篇文章最早是用PAM-Crash实现的这些准则。

另一位作者来自MATFEM公司。这是一家来自德国的材料科学与有限元分析咨询公司。

MATFEM的业务范围。看上去是不是比国内一些小规模的仿真咨询公司高级一点？

我说仿真软件是教科书没错吧。

基于现象学的观察，上面提到的两种机制需要不同的损伤起始准则。所以Abaqus就引入了不同的准则来描述它们。

后面如果看到了公式，别怕，它们都是纸老虎。什么叫现象学 phenomenological啊？就是做了个实验，测出来一条曲线，然后根据实验现象拟合出来一个公式和一堆系数呗。嗯，这很工程。

柔性损伤

这里我用了Abaqus中文界面上的翻译。虽然这个翻译的不太好吧。原文是 Ductile Damage，韧性损伤起始准则。或者沿用我上文的翻译，延性损伤准则，都行。

延性准则是一个唯象模型，来预测材料内部孔洞成核、生长和聚集引起的损伤起始。这个模型假设，损伤开始时的等效塑性应变，是应力三轴度和应变率的函数：

这个应变头顶带一横表示等效；上标pl表示塑性，下标D表示损伤。这都很简单。括号表示等效应变是里面俩参数的函数。里面一个是应力三轴度，另一个是应变率。

应力三轴度，就是静水应力除以Mises等效应力。

分子是静水应力，分母是von-Mises应力。这个很好理解。静水应力是应力张量的第一主不变量，是三个主应力之和。而von-Mises等效应力则定义为：

我们知道，如果材料处于各向同性的受压状态（或受拉状态），那它的von-Mises应力为零，是不会发生屈服的。所以应力三轴度，数值越大，就代表当前点应力状态越接近各向同性静水压状态；应力三轴度的数值越小，表示当前应力越偏离静水压力状态，因此就越危险。

应变率，具体来说是等效塑性应变率。

延性金属损伤准则假设，当满足下面条件时，损伤开始发生：

又是一个张牙舞爪的公式。别怕，你看公式里有俩等号呢。所以左边这个 \omega_D 的符号其实就是描述损伤是否发生的状态变量。它随塑性变形增加而单调递增。当它等于1的时候，即表示损伤开始发生。

这个积分，其实分子和分母都是同一个东西，就是等效塑性应变嘛。在Abaqus计算的每一个增量步中，损伤状态变量的增量为：

我觉得，写成这样 基本上就已经很接近软件内部实际的代码实现了。

更详细的讲一下就是，这个积分的分子，是仿真软件求解出的塑性应变增量；而分母则是由用户定义的一个准则。当结构的变形历史使得塑性应变积累到一定程度，以至于塑性应变累加到一起，超过了分母这个准则，损伤就会发生。

而因为在变形历史中，可能不同时刻的应变率不一样，不同时刻的应力状态不同从而应力三轴度也有不同，所以每个增量中，分母的数值可能也是不同的。这样就需要做出积分来描述损伤累积的程度。

再回头来看看软件界面里的输入框：

Abaqus软件界面，延性金属损伤需要输入的参数

看懂了没？上面写的那个等效塑性应变，说它是应力三轴度和应变率的函数，实际上Abaqus也不知道这函数长啥样。这个函数其实是由用户来定义的。

还是开头提到的那篇论文，Abaqus其实就是把论文里的公式实现而已。

熟悉吗？这个公式(7)，就是判断是否发生损伤的准则。

在同一篇论文的下方，作者服务到位，给出公式，也给出了对应的实验结果：

作者还区分了准静态加载和动态加载两种情况。

从画出的图中可以看到，应力三轴度数值越小，这个作为准则的等效塑性应变就越大。前面提到，应力三轴度越大，意味着应力状态越接近三向静水应力状态。所以，这个曲线的含义是，当一个偏应力状态，叠加上一个较大的静水应力状态时，材料内部的微小孔洞更容易发生扩展，从而作为准则的等效塑性应变就更小。这在物理上也是合理的。

关于这部分工作，后面还有一些研究者提出了补充。对铝合金的实验结果表明，除了上面提到的应力三轴度 eta 和应变率以外，延性金属的断裂还依赖于偏应力的第三主不变量。而这与Lode角（注意这个单词是Lode，和加载load不同，应该是个人名）有关。Lode角，又称偏极角，deviatoric polar angle.

那，既然等效塑性应变还和第三个因素有关，就像前面的操作一样，把等效塑性应变定义成这三个量的函数呗。

文档在这，自己读吧。反正……这功能甚至都没做GUI

是的，这功能引用的参考文献对于Abaqus软件来说可太新了，最新的文献到达了2015年。所以——在Abaqus/CAE界面里无法访问这个功能，也合情合理对吧？

Defining dependency of ductile criterion on Lode angle is not supported in Abaqus/CAE.

所以——讲了这么半天，这功能究竟要怎么用？

我猜，写出这篇论文的BMW集团，肯定是知道怎么用的。软件把功能开放给你，因为这功能不值钱，公式都在论文里写着了。但输入框里具体要填哪些数，这就需要在不同的应变率下做相应的实验，才能拟合出一条等效塑性应变与应力三轴度和应变率的关系曲线。

要么怎么说，这是个唯象模型呢。扯了这么多，最后还是要做实验嘛。

但，话又说回来。你要是没点理论功底，看不懂公式的话，你连实验都不知道该咋做。

我们和发达国家的科技水平差距这就体现出来了呀。我辈仍需努力，加油。

今天先到这里吧。这才看了一个损伤起始准则，就水出来将近三千字。