四轮转向的线性二自由度汽车模型
在我们进行车辆的车道偏离辅助系统开发时，更多的是关注汽车沿Y向（横向）的运动，包含两个自由度，一个是Y向平移，一个绕着Z轴的转动。
为了能更简单地表达这两个自由度和汽车其它参数的关系，我们先要进行一些假设。
假设1、忽略汽车方向盘到车轮转角之间的关系。直接以车轮转角作为输入（在本例中，由于是四轮转向，所有输入为前轮转角和后轮转角）；
假设2、忽略悬架的作用。即认为汽车只作平行于底面的运动，这样，汽车的侧倾运动、前后俯仰运动、Z向的位移都为0；
假设3、假设汽车沿纵向（X方向）匀速运动。这样X方向的加速度为0；
假设4、假设左右车轴左右轮的侧偏刚度相同，不计底面切向力、外倾侧向力、回正力矩、垂直载荷变化对车轮侧偏刚度的影响。
经过这些假设，四轮转向的汽车就被简化为以下示例的二轮二自由度模型。
好了，基本假设和参数设定好以后，我们来开始搭建动力学模型（主要思想是利用牛顿定律：F=ma，建立Y向运动的平衡方程），首先我们必须明确模型的搭建步骤。
步骤1：确定汽车质心绝对加速度在车辆坐标系上的分量（ay）；步骤2：确定二自由度汽车受到的外力（ƩFy、ƩMz）；
要建立汽车运动学方程，那么就要分析其运动状态，建立平衡方程。假设汽车经过∆t的时间运动到一个新的位置，也有了新的速度和方向，我们将新的状态叠加到原始状态的坐标系上，来分析这个变化，就能搭建平衡方程了。如下所示：
步骤1：确定汽车质心绝对加速度在车辆坐标系上的分量（ay）；
这里需要有一些假设，经过∆t的时间（无穷小的时间），那么∆Ɵ也无穷小，这个时候，cos∆Ɵ近似为1，sin∆Ɵ近似为∆Ɵ，（求极限的基本知识），这样，就可以求出在原始坐标系下的y向速度，如下所示，再对这个速度求导，就可以得出y向加速度了。加速度求出来了，对于F=ma这个等式，我们还需要知道力的大小，那么我们还需要对于汽车的Y向受力进行分析。这个包括Y向的合力ƩFy和绕Z轴的转矩ƩMz，如下所示（由于角度很小，几个余弦函数按照极限定义，都可以近似等于1）。
再来进行一个分析，即侧向力。侧向力是由于轮胎的侧向变形产生，所以这个力应该等于轮胎的侧偏刚度和侧偏角的乘积，如下所示。
上式中，两个侧偏的角度还是未知量，需要进一步用其它的变量来导出。如下所示。（依然要用到极限的概念，当角度小的时候，可以用a=tan(a)）。再根据牛顿定律，可以得出力和加速的关系，力矩和转动惯量的关系，如下：
再稍微调整下，就得出了四轮转向的二自由度汽车模型：两个自由度，也即两个未知参数，他们是Y速度v和绕Z轴的转动角速度r，其它的参数都是常数（由汽车本身状态确定），两个方程，解两个未知变量，是可求解的。
整个推导过程其实涉及到的原理不多，一个是牛顿定律，另一个是极限值简化，但因为参数较多，容易迷路，搞不清谁是变量，谁是已知量。不过，只要静下心来，就能慢慢推导出来的。本文内容源自网络培训课程截图，仅作自我学习的笔记用，若有不适，请联系处理。
