干货 | 湍流的描述方程LES-NS（大涡模拟）和RANS（雷诺平均）有什么区别？

用几个词来概括湍流的本质：三维，非定常（随时间变化），多尺度。这就导致了直接模拟湍流计算代价非常大。为了在有限的计算机资源下模拟湍流，各种前辈大牛提出了几种方法，包括了LES和RANS。

LES中文名大涡模拟，基本思想是对NS方程进行某种过滤，然后只计算大尺度的湍流，而将小于过滤尺度的湍流用模型加以刻画。数学上，小于过滤尺度的湍流表现为额外的应力项，称为亚网格应力。现有的湍流理论已经有结论，几乎所有的湍流在足够小的尺度上都具有一定的相似性。也就是说，用一个普适的模型来近似亚网格应力在理论上是可能做到的，虽然目前还没有出现这样的模型。

RANS中文名雷诺平均NS方程，基本思想是对NS方程进行（时间）平均，将非定常的湍流问题转化为一个定常的问题研究，代价是会出现额外的未知数，形式上也和应力的地位相同，称为雷诺应力。雷诺应力同样需要模型进行刻画，这也就是所谓的湍流模式或者湍流模型。然而，由于对问题进行了（时间）平均，方程本身包含的信息已经部分丢失，给出雷诺应力的模型实际上非常困难，同时也很难做到对所有流动都适用。

从本质上看，LES仍然是模拟非定常的湍流，只不过把计算的尺度放宽；RANS实质上改变了问题，放弃了非定常湍流信息的模拟，而只寻求平均意义下的流动结果。两者在思路上完全不同。

在LES的一段中我们谈到了足够小尺度下的湍流具有相似性。实际上，只要雷诺数够高，尺度不那么小的湍流也具有某种意义上的相似性。这个尺度我们称之为惯性子区。因此，如果要对流动进行LES模拟，那么实际上只需要在这个尺度上进行过滤即可，小于这个尺度的湍流都可以用一个模型进行刻画。这就是为什么LES对网格尺度有要求。事实上，在壁面附近这个尺度往往仍然非常小，导致所需要的计算代价极大，这也是制约LES大规模应用的原因之一。

而RANS实际上都改变了求解的方程，所以对于网格的要求也和真正的非定常湍流模拟不一样。一般而言只需要在壁面的法向网格密度足够即可，对于其他方向的网格要求相对较松。

在基础部分我们谈到了RANS对于雷诺应力如何给出模型的问题。很久以前有一位叫做Boussinesq的大神提出了一个假设，认为既然雷诺应力既然形式上和粘性应力差不多，那么不妨猜想性质上也差不多，这也就是著名的涡粘性假设，即雷诺应力也和平均流动的应变率成正比，比例系数称为涡粘系数。

从湍流的物理机理来看，这一假设基本属于毫无道理的瞎猜，但实际应用中这一假设却取得了巨大的成功。主要原因在于：1.这一假设形式非常简单，计算代价非常小，对已有的NS方程求解程序只需要做很小的改动即可。2.既然涡粘系数本身就是非物理的，那么在模型中就可以对其进行细致的模化，通过求解额外的偏微分方程，在流场的不同区域分别得到合适的涡粘系数，从而使得计算得到的平均流动比较接近真实情况。
但是采用涡粘性假设在一些情况下会出现明显的局限性，最典型的在分离流动和有漩涡的流动中，涡粘性假设会使得计算得到的平均流动完全失真。
在Boussinesq大神之后几十年，又一位大神Smagorinsky出现了。这位大神盯上了LES中如何进行亚网格应力的模化问题。他从Boussinesq的思路得到启发，提出了类似的亚网格粘性模型，称为Smagorinsky模型。这一模型同样具有形式简单的优点，但在壁面附近会出现非物理的亚网格应力剧增，所以不能简单地直接应用于LES中。

虽然LES和RANS在思路上差别很大，但是LES求解的过滤方程和RANS求解的（时间）平均方程数学形式上却极为类似，亚网格应力和雷诺应力在数学形式上也是完全对应的。也就是说，如果写出了一个过滤/平均NS方程，而不对其进行说明的话，是无法判断对NS方程进行了过滤还是平均的。

物理上完全不同的东西居然在数学上有一样的形式，不能不说是一种巧合。同时，这也是一类新的湍流模拟方法的出发点，即混合RANS/LES方法，通过在流场的不同区域分别采用RANS和LES进行模拟，可以有效地在计算代价和模拟精度上达到平衡。

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