浮力对流及其数值模拟

浮力对流也称自然对流，是由浮力导致的流动失稳进而发生的对流现象，它普遍存在于我们生活及工业应用中。如下图所示：

 

     

   

（图片来自网络）

重力场中，不稳定的密度梯度是浮力产生的根源，温度和浓度的空间不均匀都会导致密度的改变，本文不讨论浓度改变导致的浮力对流。

     

小温差情形

   

通常，如果温差比较小，那么就可以仅考虑密度对浮力源项的线性贡献，同时在NS方程的其它项中，密度可以认定为常数。而且温度的依赖参数，比如粘度系数、热传导系数等都可以认定为常数。这种近似方法最早由Oberbeck和Boussinesq先后独立提出，因此被后来的学者称为Oberbeck-Boussinesq近似，以下简称OB近似。OB近似是小温差情况下，NS方程的一阶近似（以温差作为小量）。  

OB近似的方程形式如下：  

该方程中不显含密度，而是用温度代替，因为密度是温度的线性函数。

这里选择自由下落速度作为系统的特征速度。

该方程方程属于椭圆型微分方程。

   

大温差情形

 

如果温差较大，密度和其它温度依赖参数的空间不均匀性已经不可忽略，那么OB近似就不再适用。

有几种办法处理大温差的情况，其中最简单的莫过于小马赫数模型。

通常，热对流的流动速度很小。因此可以选择以马赫数作为小量，小马赫数方程模型可以通过可压缩NS方程的渐进展开得到。低速流动时，该方程能够同时考虑大温差导致的物性参数的变化和流动的低速可压缩特性。略去推导过程，方程形式如下：

其中   [0,1]表示无量纲的温差。

小马赫数方程与可压缩方程在形式上类似，但实际上属于椭圆型微分方程，因此仍然可以采用不可压缩流动的离散数值方法求解，比如SIMPLE/PIMPLE类算法，以及分数步方法。本文将仅以分数步方法为例简单介绍小马赫数方程的数值求解过程。

相对于OB近似，小马赫数方程允许密度的变化，允许流场局部的低速可压缩性。而且，相对于可压缩方程，小马赫数方程将压力分裂为动力学压力和热力学压力。其中动力学压力出现在动量方程中，而热动力学压力则与温度关联。因此小马赫数方程与不可压缩方程一样，滤除了声波的作用，这将为后续的数值求解带来极大的方便。

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浮力对流的离散数值格式

小马赫数方程和OB近似方程模型的数学性质类似，都属于椭圆型微分方程。因此可以选择相似的数值方法离散求解。本文仅以分数步方法为例作介绍。由于OB近似下，分数步方法严格满足Hodge分解，因此也被称为投影方法。本文中，在不引起歧义的情况下，统称为分数步方法。

   

温度方程的求解

 

   

动量方程的求解

 

分数步方法中，数值求解压力Poisson方程是整个求解过程的核心。建议使用FFT或者多重网格方法求解，Krynov子空间方法也是不错的选择。

大到海洋环流，小到茶壶中的水流，浮力对流遍布自然界、我们的生活以及工程应用中。浮力湍流是湍流的一类，研究浮力湍流有助于我们深入理解湍流的物理机制。浮力对流的工业应用也至关重要，比如核潜艇发动机的内部冷却系统，自然对流的传热效率越高，机械噪声的剪噪效果越显著。

   

低瑞利数对流

 

低瑞利数湍流的稳定性和流动分岔仍然是学术界关注的核心问题之一。朗道最早指出，层流经过不断分岔后就会发展成为湍流。后来的研究进一步指出，流动一般不会经历超过三次分岔，就会进入混沌/弱湍流状态。今天，学界对层流到湍流的转捩路径和机制，距离完全的理解仍然有很远的距离。

       

(a)

       

(b)

Fig. 1 Vertical Flow 

(a) under OB approximation；(b) with NOB effects and =0.6, for Ra=10⁵, Pr=0.7. All the gray arrows represent velocity vector which are scaled by the local velocity magnitude.

 

Fig. 2 Rayleigh-Bénard convection bounded by walls and consequently no-slip and non-penetrating boundary conditions has been applied, Ra=10⁵, Pr=0.7

   

Figure 3: Rayleigh-Bénard convection with horizontal periodic boundaries, for Ra=10⁵, Pr=0.7, and OB approximation is applied.

 

   

高瑞利数湍流

 

高瑞利数湍流中，各种输运过程及其机制是所有相关学者和工程师最关注的核心问题。自然界和工业应用中，绝大多数情形遇到的浮力对流都是湍流。

 

   

Time evolution of periodic Rayleigh-Benard convection from initially unstable temperature strafification to the final weakly turbulent state. OB approximation is adopted and $Ra = 10⁷ and Pr = 0.7.