余量函数与数值计算方法FDM、FVM、FEM
「有限」指模板单元的有限长度。
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有限差分方法简单，几何适应性差；
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有限体积方法简单、几何适应性好，但不容易扩展到高阶格式；
3
有限元方法几何适应性好，易扩展到高阶格式，但算法复杂，内存要求高。
基于各自的特点，有限差分方法格式在基础研究领域应用较多，有限体积格式由于其直观的特点，较多应用于工程领域；由于历史的原因，有限元方法主要应用于结构力学的分析。
三种方法看起来完全不同。这里从余量函数法（residual ）的角度将三种方法联系起来。
以标量守恒方程为例：
Ω是整体计算域。
当我们表述一种数值格式时，要明确两个问题：
近似解uh(x, t)以何种方式逼近精确解u(x, t)？
近似解以何种方式满足守恒率？定义余量函数为：
即Rh以何种方式趋近于零？
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有限差分方法（FDM）
差分方法中，利用局部的点值定义多项式函数：
显然，Rh在该区间上不恒等于零，否则就是精确解了。对于有限差分方法，可以定义，对于每个网格点kϵ[1, …, K-1, K]
Rh（xk，t)=0,
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有限体积方法（FVM）
网格单元：
对于有限体积方法，可以要求：
即余量函数在每个网格单元的积分恒等于零。这样就可以得到有限体积方法：
有限元方法中，每个单元的近似解用函数表示：
其中，Np表示基函数
的个数，也即基函数空间的维度。基函数
一般选择多项式。对于整体计算域，近似解可以表达为：
，构成了全局的基函数（basisfunction）。有限元方法中，余量函数以何种方式趋于零呢？可以定义一个由测试函数（test function）构成的函数空间，其维数与基函数构成的函数空间Vh相同。要求余量函数满足：
也即：
如果基函数空间和测试函数空间一致，这就是Galerkin方法。这样就得到通常的有限元方法数值格式：
上述三种方法都是「有限的」，即它们都采用局部的近似，无论是跨点/网格单元还是单元内部的函数近似。谱方法的近似是全局的，即对于整体计算域：
上述有限元方法由于采用了全局连续的测试函数，因此也叫做连续有限元方法，与间断有限元方法对应。后者允许在网格单元的界面处出现间断。
总 结
无论是有限差分方法（FDM），还是有限体积方法（FVM），亦或是连续/间断有限元方法（FEM），乃至谱方法，都可以通过余量函数推导得到，除了定义近似解的方式不同外，
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有限差分方法（FDM），要求余量函数在每个网格点等于零；
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有限体积方法（FVM），要求余量函数在每个网格单元的平均值等于零；
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有限元方法（FEM），要求余量函数与测试函数空间正交。
