流体力学|04流体静力学

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导读：讨论三个问题，首先来看看有哪些属于流体静力学的问题，然后我们看看当流体静止的时候具有哪些特点。最后，我们推倒流体静力学的方程，并看看它的应用。

来自《我所理解的流体力学》

流体静力学问题

这里举出四个常见的流体静力学问题，分别是浮力问题，压力容器问题，水下压力问题和液压传动问题。

浮力问题，传说中阿基米德为了鉴别王冠的纯度，在洗澡的时候发现了浮力定律，既物体受到的浮力等于物体排开的液体重量。然而传说都不可信呢。虽然浮力定律应该是阿基米德发现的，但却很可能并不是这样发现你想啊，他其实只是利用液体来测量了王冠的体积而已。重量是另外称的。整个过程根本是和浮力没有关系的。

利用压力容器这部分我们来强调一下压力的概念，我们在流体力学里面说的压力一般都指单位面积的力，单位是帕斯卡，这其实就是压强的概念，所以文中说的压力就等价于压强：

单位面积的力就是应力，压力是正应力，以拉力为正，压力总是负的。一个标准大气压式1atm=101325帕斯卡。大气压是由大气重量造成的，可以算出一个人头顶上的大气重量大概是200公斤左右。

液体中的压力公式为：

，其中

表示大气压。

深海中的压力是很大的，比如蛟龙号的潜深达到了7000米，当地的水压就是700个大气压左右，相当于每平方厘米有700公斤的作用力

液压传动一般用来增加力的大小并改变力的方向，这是利用了流体对立的传递和固体不同的特点，固体传递相同大小的力，按图钉时肩部获得同等大小的力，但肩部接触面积小，于是压力增大很多倍。流体传递相同大小的压力，推动小活塞，大活塞获得的利益就要大很多。

改变力的大小和方向的方法其实有很多，比如杠杆螺旋滑轮以及液压等。这其中液压是最能方便地改变力的大小和方向的，所以液压传动的应用十分广泛。

静态流体特点

由于静止的流体内部没有剪切力，既然没有剪切力，就只有正应力，液体内部也没有拉力，所以只有压力。当然，在地球上的流体还都受到重力作用，重力是一种质量力，所以流体静止时的一个特点是流体内部只有压力和质量力。

这里必须再补充一点知识，就是流体力学中力的分类流体力学中按作用方式把力分为两类，表面力和质量力。表面力就是需要接触来作用的力，可以分为正应力和切应力；质量力是不需要接触而作用在所有质量上的力，比如重力，电磁力，惯性力等。

当流体静止时，所受合力为零，表面力和质量力之和就应该为零。质量力一般只有重力，表面力的合力则是压力在表面上的封闭积分。以一杯水为例，在水内部取一个正六面体的微团，则这个微团所受的浮力

正好等于它的重力

。

取向上的方向为正浮力，等于上下表面的压力差乘以相应面积：

把液体内压力公式带入就可以得出阿基米德定律：

这里再给出一个压力的特性，既流体中的压力与方向无关，这和固体不一样，故固体内部正应力是有方向性的。比如重力场中同样深度处朝任何方向的水压都是相同的。来看看这样两个容器中的液体。右侧容器的内壁有一部分是向下的这部分受到液体向上的压力。造成压力与方向无关的关键就是流体内部没有剪切力。用光滑的固体小球堆在一起和流体也是类似的。这些小球对埋在下面的东西也只有正压力，而且这种压力并不只是向下，也可以是横向甚至是向上的。

马德堡半球实验证明了大气压力的存在，作用在半球外表面的压力都是垂直于当地的表面的，这些压力所产生的合力则是使两半球闭紧。

帕斯卡在年轻的时候曾经做过一个很炫酷的演示实验。在密闭的酒桶上钻一根很高的吸管，站在高处向馆里面注水，结果只用了一杯水就把木头撑裂了。这就是有名的帕斯卡桶裂实验。这个实验一方面说明了液体内部压力值与深度相关，另一方面也说明了垂直的压力会转化成向四面八方的压力。

通用静力学方程

现在我们来一起推导流体静力学的通用方程。来看看液体内部的一个微团的受力。

如果液体所受的质量力只有重力，则压力只和深度有关，其上下表面的压力都是均匀的，侧面的压力则是线性分布。现在我们来具体分析这个微团的受力微团的三个边长分别为dx，dy，dz，重力为mg，中心点压力为P。如果设为团上下表面的压差为dp，则上下表面的压力，分别可以表示为

，

。这个dp可以用偏微分表示：

其中P对z的偏微分称为压力梯度。z方向的力的平衡其实也就是表面力和质量力之和为零:

其中dp的表达是我们已经讲过了，而面积。质量就是是密度乘以体积。把这些表达式代入并简化后，我们就得到了z方向的方程: 如果流体只受到重力，且流体密度与重力加速度都为常数，这个方程可以直接积分成为刚才讲过的代数形式的公式。

微分方程的意义更多地体现在当密度和重力加速度不是常数的情况。比如大气压力的计算就是这样。对于大气层来说，越高的地方密度就越低，重力加速度则越小。密度和重力加速度随高度的变化带入到刚才得出的微分方程中，就可以计算出任意高度处的压力。

我们说了质量力不只有总理，还有电磁力和惯性力等，这些力未必是竖直方向。所以需要有三维方向上的方程。这里给出了三个方向的流体静力学通用方程，这个三维的方程称为流体静力平衡方程，也称为欧拉静平衡方程：从这个方程可以看出，压力梯度是由质量力产生的，并且压力沿质量力方向增加。

我们说过，除了重力，惯性力也是质量力，只要流体内部没有相对运动，或者说流体没有变形，建立方程就都是适用的。比如当水箱静止在斜面上或者匀速沿斜面下滑时，水所受的质量力只有重力，水面与质量力垂直，是水平的。当水箱沿斜面无摩擦自由下滑时，水面是平行于斜面的。因为这时水同时受到重力和惯性力的作用，这俩的合力与斜面垂直。