流体力学|06流体微团的运动

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导读：本文首先分析流体微团的运动方式，然后给出微团一般运动的数学表达式。最后，分析微团的变形与旋转运动。

微团运动分析

先来看一下一般流动中流体微团的运动方式，对于收缩管道的流动，流体从进口到出口发生了很大的变形，通道中部的流体从正方形变成了细长的四边形，主要是伸长了。挨近壁面的流体，则除了伸长，还发生了较大的剪切变形。先来看一下一般流动中流体微团的运动方式，对于收缩管道的流动，流体从进口到出口发生了很大的变形，通道中部的流体从正方形变成了细长的四边形，主要是伸长了。挨近壁面的流体，则除了伸长，还发生了较大的剪切变形。我们具体分析一下流体微团的运动，在进口处取一个正方形的流体微团，当它向下游流动时，将发生连续的变形运动，分别取两个不同时刻的微团放在一起。我们就看到微团发生的变形运动了。

放大来看，这种变形运动的原因是微团各部分的运动速度不一样造成的。微团的一般运动可以分解为几种简单运动的叠加，比如流体从虚线的正方形变成实线的平行四边形，就可以分解为这样四步：第一步剪切；第二步膨胀；第三步旋转；第四步平移。

当然这是按照运动方式分解的，这四部并没有先后之分，是一起发生的。这四种运动中，剪切和膨胀属于变形运动，旋转和平移则属于刚体运动。亥姆霍兹速度分解定理指出，微团的运动可以分解为平动，转动和变形之和。这其中平动是最简单的运动，即微团中各点具有相同的速度和加速度。这时可以把微团当作一个质点来对待，使用质点运动学描述就可以了。需要注意的是，根据评定的定义，微团可以做直线运动，也可以做曲线运动。只要微团自身不发生旋转和变形，就都是平动。

微团一般数学表达式

对于微团的一般运动，假设在二维空间内有一个方形的微团，四个顶点分别用ABCD表示。如果在某时刻A点

和C点

的速度不一致。经过一段时间A点和C点走过的距离就是不一样的，于是微团就发生了旋转和变形运动。

C点的速度可以用A点的泰勒展开来表示,这里扩展到三维可以把这方向的变化量也写出来：

这两点速度的差值就代表了微团变形的速率。根据上面的泰勒公式，这个速度差的分量形式可以写成矩阵以坐标矢量的乘积：

这个矩阵代表了流体微团除平动以外的所有运动方式，包括旋转，线面形和角变形。具体来说，这个矩阵里面的各项代表了微团内部两点之间的位置的变化程度。

现在我们来具体看一下微团的变形与旋转运动，表示微团运动的矩阵可以分解为这样三个矩阵的叠加。其中第一个是对角矩阵，表示线变形，第二个是反对称矩阵，表示了旋转；第三个是对称矩阵，表示了角变形。

首先看一下线变形，当微团内各点只在x方向有速度差时，它就发生x方向的线变形，已知左右端的速度差，则经过dt时间后右端比左端多走的距离也就已知了。多走出这段距离就是微团在x个方向的伸长量。

流体力学中关心的是单位时间的相对伸长量或称为变形率，把变形量除以总长和时间后，得出单位时间的相对伸长量：

同理，我们也就已知了y方向和y方向的相对伸长量。这三家的和就表示了微团在所有方向的伸长量的总和，这其实就是体积的变化量，即单位时间内体积的相对变化量。用矢量表示，这个表达式是速度的散度。这里要强调一下线面形和角变形的关系。先来看均匀膨胀，左图变形中微团没有角变形，所以是纯线变形问题。而右图单向伸长问题，这里面其实带有角度变化，所以含有角变形。是否有角变形是和坐标无关的，只要有角度变化，就有角变形。

研究完线变形，接下来我们看看微团的角变形和旋转，以牛顿的粘性力实验为例，这个例子中流体的变形是这样的，这个运动其实并不是单纯的剪切，而是由剪切和旋转两种运动叠加而成。根据刚才讲过的知识，这其实可以分解为两项之和，分别对应剪切和旋转。

现在来具体看一下微团旋转运动的数学表达式是如何得出的？假设有一个方形的微团给出它的A点，B点和D点的速度表达式

AB边的旋转角速度，可以表示为线速度除以旋转半径：

同理，可得AD边的旋转速度为：

。微团的整体旋转角速度，是这两个垂直边旋转角速度的平均：

这样就得到微团的平均旋转角速度。

微团的变形与旋转运动

我们简单分析一下微团运动与受力的关系。首先，当微团不受力时，它只会做匀速的平动和转动。第二压力的变化，只会导致纯粹的膨胀和收缩，而不会有剪切和旋转。第三，流体中的切应力是粘性力，它可以导致微团的剪切和旋转运动。

来源：BB学长

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首次发布时间：2023-06-23