流体力学|07流体的质量守恒
现在来看看流体力学的欧拉法中的质量守恒。在这样一个一维流动中，取中间一段作为控制体流体，从左边流入右边流出。
根据质量守恒可知，控制体内质量的增加等于流入的质量减去流出的质量
对于定常流动单位时间流过进口和出口截面的质量相等，质量等于密度与体积的乘积。在直径大和直径小的地方，同样体积的流体所占流向长度是不同的，这个流向长度与时间的比值就是当地的流速。于是我们就得出了流量的表达式：
质量守恒在流体力学中体现为流量连续，所以称为连续方程：
这种积分形式适用于做理论分析，如果要具体计算流场参数需要用到微分形式，所以我们现在来针对微小的控制体推导连续方程。取这样一个六面体为控制体。
在六个面上流体可以流入和流出在左侧面和下侧面上进入的流量表达式为
现在我们来分析一下连续方程在具体应用时的特点。首先，这个方程的第一项表示了控制体内密度的变化，当流动为定常时，这一项应该为零。于是我们得到定常流动的连续方程，即密流的散度为零：
这个推导是看不出问题的。其实，问题在于收缩通道的流动不是一维流动。在工程上把它当作一维流动处理，把另外两位的速度变化用面积变化来表现了。
从连续方程还可以进行这样的变换，把对密度和速度的微分展开成两项：
从拉格朗日法的连续方程还可以得出，不可压缩流动的连续方程，就是速度的散度为零：
我们再来看一下，所谓因为收缩通道的流动，这次加上不可压的条件来分析收缩通道中部一点处的速度变化情况。
在这一点的邻域取一个微小的控制体，其上下左右各面的速度如图所示。左右侧面只有x方向的速度，右侧面的速度比左侧面大，上下表面速度的x分量相同，y分量大小相等方向相反。于是可知u沿x方向是增加的，而v沿y方向是减小的。
把二维不可压连续方程写出来：
现在来看看压缩性的影响，当流动为可压缩时，连续方程中的密度会改变，低速流动中的密度的变化相对较小，因此收缩就加速在定性上总是正确的。当气体以超音速流动时，密度的变化很大，比速度的变化量还要大，也就是说这时速度增加一倍，密度会减小的比一半还小，所以面积以速度的关系就反过来了。超音速气流通过扩张通道时才会加速。
历史上，瑞典工程师拉瓦尔在研究冲击式涡轮的时候，采用收缩扩张的管道，成功让气流从亚音速加速到了超音速。于是，这种管道就被称为拉瓦尔喷管。
再来看看不可压和非定常的关系。这是不可压连续方程：
比如这个模型中，不可压时，流体密度不变，所以容腔内的流体质量保持不变，于是可知那一瞬间进出口的流量相等，可以说，单看总流量的话不可压缩流动只能是定常的。
接下来我们看一个流动的例子，假设有一辆行驶中的汽车缺了一块玻璃，而其余各处密封都完好不漏气。
分前窗侧，窗和后窗三种情况来考虑。空气是流进来还是流出去？从经验判断，前窗缺玻璃时，气体流入；后窗缺玻璃时气体流出。是这样吗？汽车的运动速度不高，属于不可压缩流动，可以用不可压缩连续方程来判断这个问题。只有一个开口，无论开口朝什么方向，流体都应该是不进也不出。虽然这似乎和感觉不同，但这就是连续方程给出的结果。那为什么坐在窗子边会有很大的风吹进来呢？这其实是流动的非定常性造成的，因为非定常性缺口有可能一半流出一半流入。
我们再来看一个河流的例子。假设这是一条没有支流的河上游，坡度大，下游坡都想那么在图中的A点和B点哪里流速快呢？这个很好判断坡度大的地方流速快。那么哪里河道宽呢？
这个可以用连续方程来判断流速小的地方需要的横截面积大，一般河面会宽。所以在这个例子中，流体的横截面积是由流体速度决定的。
对于封闭管道内的流动横截面积是由管道决定的。看来似乎面积的收缩是流体加速的原因了。
然而很显然，流体遵从牛顿定律加速一定是受到了驱动力的作用。粗的地方压力高，细的地方压力低。流体微团流经收缩通道时，是从压力高的地方流向压力低的地方，相当于微团背后的压力大于前胸的压力，被推着加速前进，这就是驱动力了。所以流体加速是压力差的驱动造成的。
