导读:1.从热力学第一定律出发得到流动中的能量守恒关系式;2.通过对简单问题分析得到一维流动的能量方程;3.将热力学第一定律应用于流体微团,得到三维微分形式的能量方程。热力学第一定律是19世纪中后期逐渐成型的,比N-S方程的出现稍微晚一点。其中焦耳从实验角度做了大量的工作,所以能量的单位以焦耳命名。这是焦耳的实验装置,重物的下落带动搅拌器使容器内的水升温。
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通过测量重物下落距离和水升温程度,焦耳得出了能量守恒的结论。经过很多人在理论和实验方面的工作,最终确定了热力学第一定律的公式: 其中 表示工质内能的增加,它只能有两种原因造成:一个是从外界吸收的热量Q;一个是接受外界做的功W。热力学第一定律是对一个封闭系统而言的,比如这个容器当活塞向内运动时,对内部的气体做压缩功,气体的内能增加。
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如果压缩的同时气体向外散失一部分热量,内能的增量就会少一点。也就是说,这时气体的内能与做工和传热两项都有关。
工程中经常遇到一些可以简化的情况,比如绝热压缩,内能则只取决于做工量: 而对于等容加热,内能则只取决于加热量: 还有一种不太常见的情况,等温压缩,压缩功所加的能量正好通过散热减掉了: 在工程热力学中常用p-V图来分析体积功,这三种情况p-V图上分别是这样的:
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对于开放的系统,热力学第一定律的体现形式有所不同,一般约定系统从外界吸热为正,对外做功为正,则能量方程写成这样: 这里E来表示总能量,这时它不但包含流体的内能,还包含了宏观动能: 功可以分为这样几种,压力做功,粘性力做功,重力做工以及轴功: 我们将对这几种功分别进行分析,并给出关系式。
去虚线所示的空间为控制体,进出口分别用下标1和2表示。
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先考察压力做功,单位时间内流体对外做的功是力乘以速度。在出口处,力是压力乘以横截面积,于是压力做功为: 在进口也是一样,只不过在这里控制体内的流体对外做负功: 在壁面构成的控制面上,压力与流动方向垂直不做功,所以总的压力功就是进出口的压力功之和。注意到流量 等于 ,可以把流量提出来,压力功就可以写成这样的形式: 很显然,这里的 单位流量的压力做功。实际上,在热力学里它经常写成 ,其中 是密度的倒数,这就是常说的流动功。现在来看,粘性力做功,壁面对流体有剪切力作用,但壁面是静止的,紧挨壁面的流体也是静止的,所以壁面并没有对这部分流体做功。流体各层有速度差和剪切力,但那是流体内部的功。总体来说,静止的壁面并不通过粘性力对流体做功。
重力做功比较简单,只取决于进出口的高度差: 这个表达式是单位时间内控制体内的流体对外界所作的重力功。
轴功比较复杂,我们这里先不仔细研究他只给出他的表示方法: 有些书上说,轴功是通过旋转轴输入和输出的,这并不太确切,轴功也可以通过往复运动或摆动等来讲。总之,宏观上说,轴功是和非定常流动有关的功。
现在把这几种功加起来,单位时间控制体内流体对外做的功: 现在把这几种功加起来,单位时间控制体内流体对外做的功: 还可以写出吸收的热量的表达式 和能量变化的表达式:
这三个表达式带入到能量方程中,就得到了一维积分形式的能量方程: 对于开式系统经常不用内能,而用焓来表示总能量。焓和内能的关系是这样的: 可以看出,其实焓就是内能加上流动功。用焓来表示的能量方程表达式: 流动功可以理解为压力势能,重力做功也可以理解为重力势能,所以这个能量方程的左边是内能,压力势能,动能和重力势能。右边是流体外界的换热和轴功交换。
如何理解这个能量方程呢?我们举这样一个例子。如果有一个密闭的刚性容器,内部充满气体对容器进行加热,这属于等容加热内部的流体内能增加,动能仍为零,重力势能也保持不变。现在改变一下容器不是封闭的,有一个活塞压在上面,加热时,气体对活塞做膨胀功,同时自身也具有了整体向上的速度,并且气体重心提高,重力势能也有所增加。
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所以对这个例子应用上面的能量方程的话,只有轴功还是零。不过,这种情况气体的动能和重力势能改变量很小,经常是忽略的。如果容器有一个小孔向外排气,则一般动能就不能忽略了。
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在这个系统中,除了加热,还有一个叶轮通过搅拌对气体做轴功,这时上面能量方程中的各项就都不为零了。
工程上常见的一种情况是系统与外界绝热,没有轴功且忽略重力的。比如气体沿管道的流动就差不多是这样。这时气体本身的能量守恒,即焓与动能之和为常数: 还可以把焓写成内能与压力势能之和的形式,关系式变成三项之和为常数: 当气体沿着绝热管道减速流动时,如果流体为不可压且没有粘性,则速度的减小只引起压力上升内能保持不变。如果流动是可压缩的,则内能会有一定的增大。如果还是有粘的,内能还有一些额外的增加。这里,粘性是如何引起内能增加的?需要通过微分形式的能量方程才能解决。
现在来推导微分形式的能量方程。这是一个流体微团,它从外界吸收热量,并对外做功,微团的能量有内能和动能两项组成,与外界的换热有传导和辐射两种。对外做的功分为表面力做功和体积力做功。![](https://public.fangzhenxiu.com/fixComment/commentContent/imgs/1687527105612_jr7qum.jpg?imageView2/0)
下面就对这种传热和做工项分别进行分析。对于一个正六面体流体微团来说,六个面上分别有热量流入和流出。用 表示单位面积的热流量:则从左侧面进入的热流量为 ,则右侧流出的热量则可以用一阶泰勒展开来表示: 于是左右两侧面净流入的热量就已知 。同理也可以得出其他两面进出的热流量,从而得出总的热传导换热量(单位时间通过热传导的吸热量): 热流量可以用傅立叶定律描述,这样就把传热量用流场温度分布的表示(单位面积的热流量):
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辐射换热。只与微团和环境的温度相关,假设单位时间单位质量的辐射换热量是 ,则总的辐射换热量: 流体微团在外表面上推动邻近的流体对外做功,这就是表面力做功。
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因为牵引力的存在,表面上的力并不是垂直于表面的。用 表示作用在左侧面上的表面里,它代表正应力和两个切应力的合力: 左侧面在此作用力下的移动也不一定是沿X方向的,而是有三个分量: 单位时间在左侧面上表面力做的功为力与速度的乘积: 这里要注意正负号的表达方式。按照约定取拉力为正,便取流体微团对外做功为正。 是微团对外部流体的拉力,而功的表达式也是指流体微团对外部流体所做的功。
右侧面的表面力做功可以用左侧功的泰勒展开表示,但要加一个负号,因为右侧的力与速度方向相反: 于是我们就得到了左右两侧面上流体微团对外做的总功: 另外两侧面上也是一样,所以就得到了总的表面力功的表达式: 体积力做功比较简单。就是重力与微团整体速度的乘积: 不过这个公式是外部对微团的做功,对外做功为正的话,这里要加一个负号。
现在我们已经把换热量和做功的表达式都分析过了:
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把它们都带入到能量方程中,就可以得到最终的能量方程表达式了:
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这里给出了矢量形式表示的能量方程,其中各项的含义是很清楚的。能量由内能和动能构成,功分为体积力功和表面力功;换热分为导热和辐射。具体计算时可以把能量方程写成分量形式:
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这个分量形式的方程看起来很复杂,但还不是最终形式,还需要把本构方程带入才能得到流场参数表达的能量方程。做理论分析时经常用到张量形式的能量方程:
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张量是矢量概念的扩展,我们并不打算对张量用过多的时间讲解,只是借助它的表示方法来分析能量方程的含义,下一次我们会对张量形式能量方程做进一步分析。