流体力学|11流动方程的解及流态

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导读：1.流动方程的解；2.层流和湍流；3.流动的稳定性。首先对前面得出的流动方程组进行求解；然后介绍两种不同形式的流态，层流和湍流；最后介绍流动的稳定性及层流和湍流的转化方式和条件。

流动方程的解

流体的运动遵循质量守恒，动量定理和热力学第一定律，对应连续方程，动量方程和能量方程，这三个方程一起经常被称为NS方程组： 这里面待求的未知量有四个，分别为流体的速度，压力，密度和温度，所以还需要补充一个方程才能求解，这个方程就是物性方程。对于理想气体或不可压缩，流体这个物性方程是不同的：

现在有四个方程和四个未知数了。理论上任何流动就都可以求解。一般认为，牛顿流体的任何流动都是这个方程组的解，只是初始和边界条件不同。

理论是如此,现实却很残酷，因为NS方程是二阶非线性偏微分方程，想求解并不容易。一百多年来，经过很多前辈的努力，到现在得到了几十个特解，也就是说，仅仅对于这几十种流动，我们完全知道流体的运动规律。

现在我们就来分析其中的一种泊肃叶流动，看看是如何求解的。

泊肃叶流动是在两个无限大平板之间由压力驱动的平行流动，并且流动满足定常、二维、不可压缩。当流动为不可压缩时，压力与温度无关，不需要求解能量方程。这里把定常二维不可压的连续方程和动量方程写出来：

即使经过了这些条件的简化，这个方程组仍然是无法求解的。泊肃叶流动之所以能够求解，是因为还可以继续简化。由于流动是沿x方向，流场中所有位置的y方向速度都为零，所以

为零，从而

也为零，即速度沿x方向不变。根据同样的原理，动量方程中的一些项也为零，可以看到方程被大大地简化了。考虑到u不随x变化，x方向的动量方程简化成了一个线性常微分方程：

等式右边只与y有关，可以看出，

与x无关，是个常数，所以可以通过两次积分得到方程的通解：

通过引入上下壁面的无滑移条件，可以得到这个问题的特解：

对于具体的问题。一般已知的是流量或者平均流速，可以把

是用平均流速表示出来：

这个平均流速是最大流速的一半。这样对于泊肃叶流动问题，我们就得到了所有的流动信息。

层流与湍流

困扰流动问题的不光是方程不易求解的问题，更麻烦的是解不唯一的问题，这就涉及到流态的概念。流体流动可以分为两种流动状态，层流和湍流。

泊肃叶流动，流场内的速度都是已知的：

如果进口有这样一排流体微团，他们的运动轨迹是这样的平行的：

不现实生活中，我们观察到的流动不都是这样。如果流动是层流，则微团的运动轨迹是平行的；如果流动是湍流状态，则进口的一排流体微团向下游流动时轨迹是很乱的，每个微团的速度大小和方向都会随时改变。

可见层流和湍流是两种完全不同的流动状态，对于湍流流动不再是定常，也不再是二维的了。当然，如果对各处的流动速度做时间平均，平均后的湍流还是有很好的规律的，仍然满足中心处速度最大。但平均速度剖面与层流时有很大的不同：

现在我们要回来给前面的例子加一个条件，就是这样的边界条件的流动必须为层流才可以求解。如果流浪是湍流，是无法得到解析解的。现在我们可以把湍流总结为一种不规则的流动，一般认为这种不规则的流动仍然是满足NS方程的，只是不容易求解而已。

知道了两种流态后，可能我们第一个想知道的问题是是什么决定了流态？最先对这个问题做系统研究的人是雷诺，他在1883年做了一系列实验，这个实验现在成为雷诺实验。

有关雷诺实验的原理书上和网上都有很多介绍，这里就不过多介绍了。总之，雷诺让液体以不同速度流入一根玻璃管，用墨水来标记流线，从而观察流态。雷诺发现不止流速影响流态，还有其他因素，最后总结出了一个无量纲数：

当它增加时，流体变得不稳定。这个无量纲数被后人称为雷诺数。雷诺数越大，流动越容易变成湍流。雷诺在实验中给出的数值是

流动为层流；当

，为湍流；鉴于这俩之间的流动是不稳定状态。这个临界雷诺数与扰动有关，扰动越小，临界雷诺数就越高，所以具体数值只有参考意义。

流体的不稳定流动与自身所受的剪切力有关，比如这样一种流动，上面白色的表示速度快的流体，下面黑色的表示速度慢的流体，在中间形成一个剪切层。

这个剪切层一般并不会稳定存在，而是会卷起来形成大大小小的涡旋运动。这种涡旋运动最终就形成了湍流。我们可以总结为在高雷诺数下流体受到剪切时会失稳，产生湍流由层流向湍流的转换，有个专有名词称为转捩。到目前为止，我们并没有对转捩有很好的理论，也无法精确预测何时会转捩。

除了管内的流动，还有一种得到广泛研究的流动。平行的来流通过顺流向放置的平板时，在其表面会有一层薄剪切层，这种流动称为平板边界层流动。

剪切层内一开始是层流流动达到一定距离后转捩为湍流。湍流边界层内部的速度是比较乱的，不同时刻速度分布都不同。

流动的稳定性

转捩是一种稳定性问题，所以我们先来看看稳定性的含义。这些石头看起来不太稳定，但只要他可以静止的存在，就具有一定的稳定性。

是否稳定，事实上不仅与系统本身有关，还和外界扰动有关。稳定性可以定义为系统抵抗小扰动而保持某种状态的能力。来看这几个简化模型，它们分别代表了绝对稳定，绝对不稳定，随意平衡和条件稳定。

常见的流动稳定性问题属于条件稳定，即流动可以在扰动较小时保持层流，当扰动足够大时转捩为湍流了。

就目前人类的认知水平，学习流体稳定性问题的时候应该明白这样两点，一是基本上所有稳定性理论都是针对线性系统才严格成立的。二是NS方程具有强非线性，目前的稳定性理论只能给出大概的判断。关于流动稳定性最著名的理论是索末菲在1907年提出的奥尔-索末菲方程：

这是对NS方程进行线性化。并应用小扰动理论得到的。但这个方程还是过于复杂了，索末菲本人无法得到他的解。

因此他把这个问题交给他的学生-海森堡作为博士课题。海森堡就是那个量子力学的创始人之一，但他也没有做出来。不过凭借天才的直觉，他猜到了解的大概样子，并且勉强毕业。师从冯卡门的林家翘迎难而上，也把这个问题作为博士课题，并在1944年得到了方程的解凭此顺利毕业。

根据林家翘的结果，圆管内流动的临界雷诺数应该为5772。我们知道雷诺最初得到的临界雷诺数是2300，所以理论和实际有出入。理论和实际的不稳和一方面说明了线性理论不能完全准确地描述流动；另一方面实验的数值也是不确定的。一些人致力于消除扰动，已得到转捩雷诺数的极限值。这个值在1910年达到了44000，1961年达到了10^5，1980年更是达到了10^7。有理由认为，临界雷诺数可以无穷大，对应0动，所以转捩的条件不光是雷诺数要足够大了，扰动也要足够大。

把稳定性理论应用于平板边界层，可以得到这样的图，也称为拇指图。