流体力学|12雷诺数与马赫数

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导读：分别介绍雷诺数和马赫数的物理意义，分析他们对流动的具体影响。

雷诺数

我们已经知道，雷诺数的表达式是这样的：

表达式中的

是流体的粘性系数，所以雷诺数与粘性有关。粘性是流体运动时内部产生剪切力的象征，所以雷诺数就表示了粘性力的大小了。还有惯性力，书上说，雷诺数表示了惯性力与粘性力之比。惯性力是速度的变化强度，所以雷诺数就表示了粘性力对流动的影响程度。

粘性从而产生剪切力，还有一个额外的影响是流态。低雷诺数时流动倾向于层流，高雷诺数时流动倾向于塔留，这是粘性作为阻尼作用对流动的影响。

历史上，雷诺数的提出经过了几个阶段，最先提出这个概念的人是斯托克斯，就是NS方程中的S；当然雷诺数名字来源于雷诺，是他首先提出雷诺数数的表达式；但是真正把这个无量纲数称为雷诺数的人，是研究了流体稳定性的索末菲。

我们来看一下雷诺数为什么表示了惯性力与粘性力之比，把雷诺数的分子和分母分别乘以速度和尺度，整理后，得到这样的表达式：

分子中密度与尺度三次方相乘表示了质量，速度平方与尺度的比值表示了加速度。分子中的两项则分别表示了剪切应力和面积，这样就可以看出分子表示了惯性力的大小，分母表示了粘性力的大小。

下面我们在描述运动的NS次方程中看看雷诺数的影响。这是简化的x方向动量方程：

现在因为一些流场的特征量来对其进行无量纲化：

假设直到

为流场特征量，带星的变量就是无量纲的了。将这些关系式代入到上面的方程中，整理后就得到了无量纲的方程：

无量纲方程可以用来描述任何几何相似，边界条件相同的流动。可以看到，相比有量纲方程，无量纲方程中多了两项，这两项分别对应两个无量纲数，一个是欧拉数

，一个是雷诺数的倒数

。

欧拉数表示了压力与惯性力之比，当使用压差力分析问题时并不起作用，所以影响整个方程的就只剩下雷诺数了。

雷诺数影响无量纲方程预示着几何相似的流动，如果雷诺数不同，流动就不同。雷诺数出现在粘性项的分母中，它越大，粘性项的影响就越小。当雷诺数远远大于1时，粘性力趋向于零。这时，运动只由压差力决定：

可以想象这对应于流动符合伯努利方程的情况。

当雷诺数远远小于1时，粘性力非常大，任何压差产生的驱动力都会被几乎同等大小的粘性力抵消，所以流体很难产生加速度。可以说毫无惯性可言，惯性力是可以忽略。这时粘性力与压差力平衡：

这种流动非常符合亚里士多德的描述，就是力是维持物体运动的原因，一旦驱动力消失，巨大的粘性力就会立刻让运动停下来，一步也不多走。

这里给出了一些常见运动的雷诺数：

下面是液体中，上面是气体中。雷诺数远小于1的流动又称为蠕动流，也称为斯托克斯流动；还有一些运动的雷诺数不高，粘性力也不算大，流动为层流；而常见的多数流动雷诺数比较大，处于湍流区。

以绕圆球流动为例，这是其阻力系数随雷诺数的变化规律。在低雷诺数范围内，随着雷诺数的增大，粘性作用减弱，阻力迅速变小。当雷诺数达到一定范围后阻力不再随雷诺数变化。

再增加雷诺数，阻力还会有突然减小然后又突然增大的现象。

规律这么复杂的原因是阻力并不仅仅由粘性力构成。在蠕动流状态下，流体绕球流动，看起来前后是对称的，其实并不完全是。前后的流速是对称的，但压力并不对称。这时流动阻力主要是由流体与球表面之间的摩擦力造成的。在中等雷诺数下流动为层流，但非定常性可能很强。这时，流体绕过球后形成规则的脱落涡，即卡门涡街：

球除了受到阻力之外，还受到周期性的横向激振力。湍流是更常见的流动，比如这个网球后的流动。网球后的流动很乱，找不到规律，这时球的阻力主要由前后的压差力产生，摩擦力只占一小部分。定量来看，蠕动流中粘性力产生的摩擦阻力占总阻力的三分之二，而一般的高雷诺数下摩擦阻力只占总阻力的10%或更少。

湍流中的雷诺数：我们知道，湍流都是对应很高的雷诺数。也就是粘性力很小的时候，由于其内部存在着复杂的剪切流动结构，湍流对雷诺数的变化是很敏感的。

比如在这个火山喷发的湍流流动中，含有复杂的大大小小的涡团。圆圈所示的大概是这个流动中最大的涡团尺寸。

放大仔细看，这样的小涡流大概是流动中最小的。

涡团这个小涡的尺寸实际上是受雷诺数影响的，因为粘性耗散会让过小的涡迅速停下来，宏观动能转化为内能。雷诺数越大，粘性作用越小，涡可以维持的尺寸就越小。流场中的大涡尺寸是由边界条件决定的，比如这个流动中的大涡尺寸是由火山口的尺寸决定的。

对于下面这种剪切流动，从下至上雷诺数越来越大。

大涡的尺寸不变，而小涡的尺寸越来越小，最下面的流动其实是层流流动，因为只有大涡而没有小涡，最上面的流动含有丰富的小涡，是典型的湍流。

对于湍流可以总结出这样一个关系式：

表示大涡尺寸，

表示小涡尺寸，可见增大雷诺数可以拉开大小涡的差距。这也可以用来理解为什么低雷诺数对应着层流，因为低雷诺数下小涡尺寸和大涡差距不大，形不成能级传递过程。

雷诺数表达式中的速度和尺度是一个容易让人困惑的问题。书上说，应该用特征，速度和特征尺度。

可是，啥是特征呢？这个问题还真不简单，要具体问题具体分析。不过我们可以看看选取原则。对于平板边界层流动，一般经常选用的是流向长度。而实际上更合理的尺度是当地的边界层厚度，因为它与当地粘性力直接相关。想起流向长度完全是为了方便并不是很合理。不过，考虑到边界层厚度和流向长度有一定关系，选取流向长度也是可以接受的。

对于管流，距进口足够远处的流动与进口无关，就不能选取流向长度了。这时最方便也比较合理的尺度，是管道直径。对于绕机翼和绕圆柱流动，通常选取弦长和圆柱直径，也是考虑方便性，其实这两种流动中更合理的尺度也是边界层厚度。

马赫数

现在我们来看看影响流动的另一个重要的无量纲数-马赫数。马赫数是运动速度与当地音速之比，是马赫提出来的：

对于理想气体因素，只与气体种类和温度有关：

音速是声音的传播速度，也就是气体中小的压力扰动的传播速度。这个传播速度大概与气体分子的平均热运动速度相当。当飞机在空气中运动时，它时刻都对空气产生小扰动，扰动以音速传播。如果飞机的运动速度没有声音快，声音就会比飞机更早到达前方。如果有人处在亚音速飞机的前方，通过声音就可以知道飞机来了。如果飞机的运动速度比声音还快，它就会比声音更早到达前方。如果有人处在超音速飞机的前方，他是无法通过声音直到飞机来了的。

物体运动时会推挤ta前面的空气,产生的压力波会"通知"前方的气体让路。若物体运动速度太快，前方气体来不及跑就会被压缩。如果让大气靠自身的膨胀加速流动，则其速度与对马赫数的关系是这样的：

可以看出，当马赫数达到10时，速度只有每秒七百多米。事实上这样加速下去，理论上马赫数无穷大时流速也不到每秒八百米。超高的马赫数其实是膨胀降温引起的音速降低产生的可见，马赫数并不对应速度的大小，因为音速并不是常数。

为了理解马赫数的物理意义，我们先来看另一个无量纲数科西数。这是柯西数的表达式：

它的定义是气体中的惯性力与弹性力之比，其中的体积弹性模量E与体积变化和产生的压力有关：

通过一些关系式的变化，可以导出科西数等于马赫数的平方：

所以我们也可以说，马赫数表示了惯性力与弹性力之比。在流动中，马赫数的大小体现了气体在惯性力作用下受压缩的程度。这里给出了一些常见运动的马赫数范围，可以根据马赫数范围，把流动分为不可压缩流动，亚音速，超音速和高超音速。

基本上所有生物的活动都属于不可压流动，这时马赫数不影响流动。

亚音速流动中马赫数对流动的影响主要是压缩性方面；跨音速流动的主要特点是出现了激波；超音速流动受激波影响，并且出现了压缩和摩擦引起的气动加热问题；高超音速流动则由于气动加热温度过高，还产生了气体电离等问题。这是几种形状的物体的阻力系数，随马赫数的变化：

在亚音速范围内，完全没有激波时，阻力系数就已经随马赫数而增大了，这完全是由压缩性带来的，可以用压力系数定义是来解释，这是可压缩流动中的总静压关系：

除了惯性力产生的动压之外，额外的项是弹性力带来的，也就是说，减速时弹性力会带来额外的压力。根据压力系数的定义：

如果流动是不可压缩的，滞止点的

等于1，如果流动是可压缩的，滞止点的

大于1。也就是说，压缩性使同样的减速产生更大的压力，从而带来更大的阻力。至于跨音速和超音速时阻力系数大，原因则是激波阻力产生的。

雷诺数与马赫数对流动的影响

真实流动中。雷诺数和马赫数是同时起作用的，我们分几种情况分析一下，首先来看一个有点奇怪的问题——伯努利方程适用的雷诺数和马赫数范围是什么？

伯努利写的流体力学书里面曾经用这样的例子说明伯努利原理：

但如果实际做这个实验，就会发现这个流动完全不符合伯努利原理。原因是在管流中粘性力起决定性作用，而沿流向应用伯努利方程的条件是定常、不可压、无粘。很显然，湍流属于非定常流动，所以定常的条件限制了流动必须是不可压。不可压是不可能绝对满足的，不过马赫数足够小时，流动几乎是不可压的。无粘也不可能绝对满足，粘性很小的流动对应的是雷诺数足够大。然而问题是，当雷诺数足够大时，流动就会使湍流，所以雷诺数足够大，并不能保证流动满足伯努利方程。

现在来分析下面管道流动：

它并不是典型的管道流动，而是和管道的入口段流动类似，壁面的边界层很薄，主流是满足伯努利方程的。边界层的影响是改变了主流的有效流通面积，所以伯努利方程还是可以计算这类问题的，但面积要做修正。

然而，要满足这种流动是有条件，就是雷诺数要足够高。如果雷诺数很低，边界层就很厚，就会像图中所示这样占满通道，伯努利方程就完全不适用了。

伯努利原理大概是最深入人心的流体力学知识了，其实它的适用范围很有限，之所以貌似应用广泛，是因为人类的活动大约符合他。如果是细菌来写流体力学书，伯努利原理就完全不会出现，反而是亚里士多德的“力是维持物体运动的原因”会被奉为经典。

而对超音速飞机而言，激波和膨胀波才是流动的主旋律。即使在我们身边，也并不存在精确满足伯努利方程的流动，使用它时要小心。

当流动马赫数很低时，雷诺数是流动的主要决定因素，比如这个绕机翼的低速流动中，外流是符合伯努利方程的。雷诺数通过影响边界层厚度而影响外流的压力分布。这其中还有两个更大的影响，就是雷诺数会影响边界层转捩点和分离点。

转捩使边界层增厚，对外流有一定向外排挤的作用。分离使边界层离开，避免对外流有非常大的向外排挤作用。边界层厚度通常很薄，本身的一点变化对主流影响很小。而转变和分离就不同了，经常是绕物体流动问题中最大的影响因素。如果流动是无粘且不可压的，压力分布本来与流速是无关的，或者说流动是受雷诺数和马赫数的影响，而不是流速和尺度本身。对于高速流动，马赫数通常是流动的决定性因素，这个图表示了球的阻力系数：