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CFD理论|基本方程（1）

BB学长

1年前浏览443

导读：在进一步了解湍流方程之前，我们需要首先知道流体运动的基本方程。

流体运动遵循基本的守恒定律，即遵从质量守恒、动量守恒和能量守恒定律，流体运动的基本方程就是描述这些基本定律。

本文首先介绍一下随体导数及雷诺输运方程。因为主要是一些数学表达式，所以行文稍微有些枯燥，但这些数学方程是描述流体运动的根本。

随体导数

求解基本方程时，需要用到流体质点的物理量随时间的变化规律，于是定义了随体导数。

随体导数：流体质点物理量随时间的变化率称为物理量的随体导数。

但在流体力学中，流体质点的运动区域大，因此跟随一个流体质量去描述其运动，通常是比较困难的。考虑到流体是充满整个运动区域的连续介质，一般有两种描述运动的方法。

（1）拉格朗日法

该方法着眼于流体质点，把流体质点的物理量表示为拉格朗日坐标与时间的函数。拉格朗日法跟踪的是流体质点，因此其坐标（a,b,c）不随时间(T)的变化。

若以

表示流体质点的某一物理量，其拉格朗日法的数学表示方式为：

(a,b,c)更像是对流体质量的标号，如果t时刻的质点的位置以r表示，则：

表示拉格朗日坐标为(a,b,c)的流体质点在t时刻处于r，即空间点(x,y,z)的位置。

（2）欧拉法

欧拉法着眼于空间点，也叫空间描述法，即流体的物理量随空间点及时间变化。把流体物理量表示为欧拉坐标及时间的函数。

当某时刻物理量在空间分布确定，我们就是物理量在此空间形成了一个场，也就是说欧拉法实际上描述了物理量的场。欧拉的数学表达式为：

(x,y,z)就是空间的坐标。例如流体速度可以表示为：

它表示空间点(x,y,z)上t时刻的流体速度。

（3）随体导数

拉格朗日法描述中，物理量随体导数就是质量(a,b,c)的物理量

对时间的导数

,比如说速度及加速度的表达：

在欧拉法描述中，

并不表示随体导数，它只是表示物理量在空间点（x,y,z)随时间的变化规律，因为随体导数针对的对象是流体质点，而不是空间点，因此还需要考虑空间点(x,y,z)随时间的变化。所以物理量

随体导数的欧拉表示方法为：

简化后可以表示为：

这是流体力学十分重要的基本公式。方程右边第一项为迁移加速度/局部导数，表示该空间点物理量随时间的变化规律；第二项为当地加速度/位变导数项，它是物理量不定常性引起，由空间位置变化引起的物理量变化律。

雷诺输运定理

随体导数后，我们如何去描述流体性质的变化，这就需要用到雷诺输运定理。在介绍这个定理前，我们首先要知道控制体与系统。

（1）控制体与系统

控制体指的是流体所在的运动空间，以假想或实际存在的流体边界包围、形状任意、固定不动的空间体积，包围的边界称为控制面。

控制体形状大小不不变，相对于某坐标系固定不动；控制体允许与外界有质量能量的交换，也可以有力的相互作用。控制体是由空间变量描述，本质上属于欧拉法。

研究对象如果是控制体，则力学定律的数学表达中对时间的导数需要重新改写，重新用控制体的积分表达。

系统是指某一确定的流体质点集合的总体，它是从拉格朗日法出发。

系统的形状大小位置均可变，与外界无质量的交换，但可以有力的相互作用及能量交换。力学定律的数学表达式可以直接用原始的数学公式表示。

（2）雷诺输运定理

上式即是雷诺输运定理: 某时刻可变体积系统内的总物理量的时间变化率等于该时刻所在空间域（控制体）内的物理量的时间变化率与单位时间内通过该空间边界面的净输运的流体物理量之和。

式中

是流体质点相对于控制面的速度，当控制体以常速运动且不变形的话，

可以用相对速度或绝对速度代替。

如果控制体固定且不变形，随体导数可以按照拉格朗日方法表示，则输运方程可以表示为：

雷诺输运方程推导

考虑下图一般流动图形，在时刻t考虑系统包含一定质量，该系统具有虚线的边界，此外考虑相对xyz坐标为固定的控制提，在t时刻与系统完全重合。在

，质点移动，因此系统位置也发生变化。

在

时，系统由体积

组成，而t时刻系统由

组成。在微元时刻

系统的特征物理量增量为：

除以

,令

趋于0，重新整理：

其中右边第一项是偏微分：

，CV表示控制体；

右边第二项是流出控制体的N对时间的变化率，其极限为：

式中CS表示控制体表面。

右边第三项是流出控制体的N对时间的变化率，其极限为：

合并前面两项，可以表示为对整个控制体表面CS的积分：

最后将对控制体及控制面的积分式合并，就可以得到雷诺输运方程：

来源：BB学长

湍流理论控制

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首次发布时间：2023-06-23