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CFD理论|基本方程（3）

BB学长

1年前浏览215

导读：如何用数学语言描述流体的运动，以及什么是N-S方程？

流体运动分解

(1)亥姆霍兹速度分解定理

该定理将流体质点运动分解为平移、线变形、剪切变形、旋转四种运动。

式中

分别表示线性变形率（线性变形率张量），角变形率（角变形率张量），两者合称为变形率张量：

在直角坐标系中，线性变形率可以表示为：

剪切变形率为：

用图解法表示四种变形运动。

设流体微元在t时刻处于ABCD位置，在

将处于A1B4C4D4,则：

由ABCD到A1B1C1D1为平移运动；
由A1B1C1D1到A1B2C2D2为线性膨胀运动（线性变形）；
由A1B2C2D2变到A1B3C3D3为剪切变形运动；
由A1B3C3D3到A1B4C4D4为旋转运动。

(2)有旋运动

流体运动是否有旋，可以用旋度（涡量）来表示：

，流体做无旋运动，否则为有旋运动。

流体微团是否做有旋运动，需要视微团是否围绕着通过流体微团的瞬时轴旋转，而不是决定于流体微团的轨迹（迹线）的几何形状。

本构方程

（1）斯托克斯假设

流体是连续的，它的应力张量是应变率张量的线性函数；
流体是各向同性的，也就是说流体性质与方向无关；
流体静止时，即变形率为零时，流体中的应力就是流体的静压力。

（2）本构方程

根据各向同性假设及应力张量与变形率张量是线性关系，可以将应力张量 与变形率张量 的关系式为：

式中，系数

为标量，

为单位张量

对于牛顿平板试验，牛顿粘性定律可以写为:

由于应力与变形率是线性关系，因此系数

只与流体物性有关，参考牛顿粘性定律：

于是作用于微元上的正应力可以表示为：

合并三项，可以得到：

同样由于应力与变形率是线性关系，要保持线性关系，b只能是

中的线性不变量组成。(应力张量不变量：

；变形量不变量：

)

结合平均压力的定义：

。出于对p同样考虑，将p的表达式写为更普遍的形式：

其中

为虚拟粘度。因此b可以写成：

最终可以得到：

通常令

定义为第二粘性系数或体积膨胀系数，则：

此式就是本构方程（广义牛顿定律）。

纳维-斯托克斯方程

牛顿广义定律中提到了第二粘性系数

的一般表达式，但在牛顿流体的一半流动问题中认为

,则：

代入动量方程

可得：

如果

为常数，则：

这就是牛顿流体的运动方程，称为纳维-斯托克斯方程（N-S方程）。

N-S方程的变形

（1）对于均质不可压缩牛顿流体，

则：

（2）无粘性流体（理想流体），

则：

（3）静止流体，

则：

（4）兰姆一葛罗米柯方程

旋性，常将速度的随体导数分解，将其中旋量分离：

N-S方程就可以改写为：

（5）非惯性系中相对运动方程

绝对速度=相对速度+牵连速度

绝对加速度=相对加速度+牵连加速度+科式加速度

其中

来源：BB学长

理论试验

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首次发布时间：2023-06-23