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CFD理论|湍流运动方程

BB学长

1年前浏览2290

导读：本文讨论用以解决湍流问题的基本方程。

首先应用时均法建立湍流的时均的和脉动的连续方程及运动方程；随后讨论湍流的能量方程与涡量方程

连续方程

粘性流体的运动方程（N-S）方程及连续方程同样也适用于湍流运动。湍动运动中，物理量可以分为两部分：时均物理量和脉动物理量。

时均流动的连续方程为：

应用平均运算法则：

由此可见，连续方程中多了一项

，这是湍流运动的附加项。

当流体不可压时，平均速度及脉动速度的散度为0：

动量方程

N-S方程可以表示为：

将瞬时值带入，并对其做时间平均后，可以得到：

简化后，该方程可以写为：

其中：

为时均切应力。

由于

是脉动速度及脉动密度的二重相关量，

为脉动速度及脉动密度的三重相关量，在不可压流动中，以上几项均是比

（脉动速度的二重相关量）更高阶小量，所以可以忽略，方程可以表示为：

此式称为雷诺方程。与N-S方程相比，多了一项

，该项可以解释为作用于流体的应力，记为雷诺应力(

)。

实际上对应6个不同的雷诺应力项，即3个正应力和3个切应力。

方程的封闭性

从前面推导的连续性方程（一个标量方程）和动量方程（三个标量方程）所构成的方程组中，共有4个偏微分方程10个自变量，包括4个平均量

和

,6个湍流应力（

），因此无法直接从中得到确定解，因此需要找到足够的方程，使方程组封闭，这部分内容，我们下一次讨论。

能量方程

（1）时均能量方程

采用质量加权平均：

但密度和压力不能采用质量平均：

根据组分输运方程可以导出：

其中

，对于温度、总焓推导类似。

（2）平均动能方程

动量方程两侧同乘速度，并利用连续方程可得：

方程右侧第二项表示控制体内平均动能的变化率；第三项表示控制面上平均压力所做流动功(含势能变化)。

对于不可压流动，方程可以改写为：

方程右边第一项为平均动能局部变化率，第二项为对流输运项，第三项为湍流应力功，第四项为变形功耗散项，第五项为粘性应功，第六项为粘性耗散项。

（3）湍动能方程

除雷诺方程及连续方程外，增加了有关脉动量的方程，常见的是脉动动能方程，由于

代表湍动能，则其方程称为k方程：

方程左边为湍动能变化率，右边第一项为脉动总压力功，第二项为粘性应力功，第三项为粘性耗散，第三项为变形功。

涡量方程

涡的强烈脉动也是湍流的重要特征，涡流

同样也可以表示为时均值和脉动值之和。涡量的时均方程可以表示为：

湍流时均涡量及脉动的涡量连续方程分别为：

涡存在流速场中，流速分布不均使涡束发生变形及转向，随着涡束的拉伸变形，大尺度漩涡在时均流场吸收能量，并向小尺度漩涡逐级传递，最后在小尺度的漩涡运动中通过粘性将能量由机械能转变为热能耗散，这就是湍流的发展过程及本质。

来源：BB学长

组分输运湍流理论控制

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首次发布时间：2023-06-23