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数值计算|控制方程的离散1

1年前浏览199

导读：介绍在有限差分法中控制方程的离散方法。

在有限差分法中，通过将控制方程中的各阶导数用相应的差分表达式来代替而形成离散方程。

Taylor展开法

将函数

在下图中某点

对作Taylor展开

可以得到：

因此：

式中

表示阶段误差，随

趋近于零而减小。同理的还有

。在上式中

代表函数

在节点

的精确值。在有限差分中，这个精确值一般是未知，只能用近似值

代替。因此上面式子可以改写为(向前差分)：

向后差分可以表示为：

。

如果把函数

在节点

上对点

做Taylor展开，可以得到具有二阶精度的中心差分:

下图给出各种差分表达式：

多项拟合法

导数的差分格式也可以通过多项式拟合来获得。设函数在节点

附近对x的变化关系呈线性：

其中

为点

的x坐标，为了方便，令

,于是：

联立两式：

。因此

在点

的向前差分为：

对于二阶精度的空间导数公式，可以采用二次曲线拟合:

于是：

由此可以得到：

因此一、二阶导数的差分逼近式为：

在流动和传热的数值计算中，多项拟合法主要是用于处理对流项的高阶格式及边界条件。比如说QUICK格式就可以用多项式拟合的方式来导出。

下一节我们继续介绍有限容积法中控制方程的离散，并比较有限差分法与有限容积法离散方法的异同。

来源：BB学长

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首次发布时间：2023-06-23