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CFD理论|离散方程的守恒性

1年前浏览163

《数值计算》导读：讨论离散方程的守恒性。

数值计算的目的是获得尽可能精确的解，实质上离散方程的误差都是由离散化引起。但是仅仅从误差判断离散格式是不全面的，需要进一步研究格式本特性与物理问题之间的联系。

对于一般工程问题，能够兼顾离散方程的守恒性、迁移性和人工粘性（假扩散）的离散格式就可以满足工程计算的需求。本文首先讨论离散方程的守恒性。

守恒性的定义

如果一个离散方程在定义域的任意有限空间做求和运算所得的表达式满足该区域上物理量守恒关系时，则称该离散格式具有守恒特性。

对流-扩散方程的离散过程中，扩散项的中心差分具有优良的物理特性及计算精度。对流项二阶导数的离散方式是决定方程是否守恒的关键。

守恒性的分析

守恒性的分析步骤：

1）首先将方程离散为显式格式；

2）然后对其中的项采取要研究的格式进行离散；

3）最后在一定范围对离散方程求和。

考虑到扩散项具有良好物理特性，我们这里将一维对流-扩散方程简化为纯对流方程: 分析对流项的中心差分格式( )守恒性。

在均匀网格系统中，任取一段有限区间来分析，如下图所示。

将对流方程在

进行积分：

应用中心差分格式可以得到：

按照中心差分格式的定义，界面上的值采用线性插值。因此上式右端方括号内的项在求和过程中可以相互抵消，如下图所示：

因此可以得到上式右端方括号内的项可以代表

，即：

这表明在

时间间隔内流入与流出某一区域中的通量之差等于该时间间隔中该区域内

的增量，因此对流项中心差分格式具有守恒性。

注：如果原来格式不采用线性插值来定义界面上的流量（相当于中心差分），则上式右端方括号内的项无法代表

。

守恒性的条件

（1）控制方程必须为守恒型，如果是非守恒型，则无法满足求和过程中，中间项的相互抵消，最终无法化成为进出界面上物理量通量的差

（2）同一界面上的各物理量及其一阶导数是连续的，意味着从界面两侧的两个控制容积写出该界面上的值是相等的：

守恒性的意义

为什么保证离散方程的守恒性呢？

（1）守恒性的离散方程可以给出比较准确的计算结果。（非守恒型号的离散方程进行误差分析比较方便）

（2）计算结果与原物理问题在守恒特性保持一致；

（3）不会增加额外的误差。因此守恒型离散方程的在界面上通量可以相互抵消，因此数值计算的总体误差只在边界处理上存在；相反，对于非守恒型，界面上的通量无法相互抵消，界面上的误差则会积累，使总体计算误差增加。

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来源：BB学长

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首次发布时间：2023-06-23