CFD理论|非线性及源项处理

导读：介绍导热问题离散方程的非线性及源项。

源项代表的是那些不能包括在控制方程的非稳态项、对流项与扩散项的所有其他各项之和。

离散化方程是线性的代数方程，我们可以通过解线性方程的方法求解这样的方程组。但是如果遇到非线性情况我们如何处理？比如说在导热问题中，导热系数可能与温度有关，源项可能是温度的非线性函数。

我们通常采用迭代的方式处理状况，通常有以下几个步骤：

1）初始情况下，在各个网格点估计一个    值；

2）由这些 估计的   ，计算出离散方程中系数的试探值；

3）解名义上的线性代数方程组，得到一组新的    值；

4）以这些估计的T值作为较好的估计值，返回到第二步并重复这个过程，直到进一步计算（迭代）不再引起T值任何有意义的变化为止。

这种最终不变的状态成为迭代的收敛，这个收敛的解实际上就是非线性方程的正确解。

但也存在一次次迭代无法得到收敛的解，T值可能稳定的震荡或以一个不断增大的振幅震荡，这种情况就是发散。

原则上任何的非线性问题都可以用迭代处理。

源项代表的是那些不能包括在控制方程的非稳态项、对流项与扩散项的所有其他各项之和。

（1）线性化的原因

当源项为常数，则对离散方程的建立没有任何影响；当源项为未知函数时，此时源项的处理方式至关重要，是造成迭代发散的原因。

目前常见的做法是将源项线性化，合理的线性化是达到收敛解的关键。我们名义上的线性化结构框架只允许采用一种形式上的线性关系，并且线性关系的组合要比S处理成常数要好。

（2）源项线性化

在控制容积    中，线性化后源项可以表示为： 

  其中    为常数，    是    随    变化曲线在    处的斜率。

（3）几点说明

a.    要满足非正的要求，即可以为0或者负数。这是保证方程迭代求解能够收敛的条件。

b.为什么要用线性化处理而不直接用常数？如果将    作常数处理，则各个控制容积的    就是以上一次迭代计算所得的    来计算    ，这样源项相对于    永远有一个滞后；而线性化处理后，式中    是迭代计算的当前值，这样    能更快跟上    的变化。

c.线性化处理是建立线性代数方程的必须。

d.    绝对值大小影响迭代过程温度的变化速度。由代数方程可得：            绝对值越大，系统的惯性越大，相邻两次迭代的    就越小，因此收敛速度下降，但有利于客服迭代过程的发散。

来源：BB学长