CFD理论|边界条件-补充方程法

导读：介绍导热问题离散方程的边界类型及补充边界节点代数方程法。

以一维问题为例子，在边界上各有一个网格点，其他的网格点成为内点。每个围绕着内点都有一个控制容积，对每个控制容积均可写出一个离散方程，那么我们就拥有所有内点未知温度的必要方程。但是存在两个方程会包含边界上网格点的温度，通过处理这些边界温度，就可以把已知的边界条件引入数值算法中。

在导热问题中，有三类典型的边界条件：

1. 已知边界温度；
   

2. 已知边界热流密度；

3. 通过放热系数和周围流体的温度来规定边界的热流密度。

如边界温度已知（    已知）这种情况下无任何特别的困难，处理时不需添加方程。如果边界温度未知，就需要对边界附近的“半”控制容积构建附加的方程。目前主要有两类方法：补充边界节点代数方程的方法和附加源项法。

（1）区域离散法1

1）Taylor展开

对于无限大平板的第二类边界（如上图所示），采用Taylor展开时，只需对边界表达式：    中的导数用差分形式代替：   上面形式的截差为一阶，一般要求边界节点与内节点的截差保持一致，否则会影响计算精度。

如果要求截差为二阶， 这里我们采用虚拟点法，如上图所示，在右边界外设一点    则    就可以视为内节点。则一阶导数 可以用中心差分表示：    同时    点上控制方程的离散采用中心差分：    联立两式消去    得：    式中    为    所代表的控制容积厚度。

第三类边界条件可以表示为    ，将式子带入上式子(1)(2)中，并解出    ，可以得到一阶与二阶截差的节点离散方程：   

 2）控制容积平衡法

通过控制容积平衡法推导边界节点的控制容积作能量平衡，可以得到：    解出    就可以得到式(2)。由此可见，采用控制容积法得到的离散方程具有二阶精度，并且物理意义明确，因此广泛应用。

2)区域离散法2

边界节点可以看作第一种区域离散中边界节点的控制容积厚度    趋近于0时的极限。则由式(2)式(3)可以得到：

第二类边界条件：    第三类边界条件：    其中    是边界节点与第一个内节点之间的距离。