CFD理论|边界条件-补充方程法
导读：介绍导热问题离散方程的边界类型及补充边界节点代数方程法。
以一维问题为例子，在边界上各有一个网格点，其他的网格点成为内点。每个围绕着内点都有一个控制容积，对每个控制容积均可写出一个离散方程，那么我们就拥有所有内点未知温度的必要方程。但是存在两个方程会包含边界上网格点的温度，通过处理这些边界温度，就可以把已知的边界条件引入数值算法中。
在导热问题中，有三类典型的边界条件：
已知边界温度；
已知边界热流密度；
通过放热系数和周围流体的温度来规定边界的热流密度。
如边界温度已知（ 已知）这种情况下无任何特别的困难，处理时不需添加方程。如果边界温度未知，就需要对边界附近的“半”控制容积构建附加的方程。目前主要有两类方法：补充边界节点代数方程的方法和附加源项法。
（1）区域离散法1
1）Taylor展开
对于无限大平板的第二类边界（如上图所示），采用Taylor展开时，只需对边界表达式： 中的导数用差分形式代替： 上面形式的截差为一阶，一般要求边界节点与内节点的截差保持一致，否则会影响计算精度。
如果要求截差为二阶， 这里我们采用虚拟点法，如上图所示，在右边界外设一点 则 就可以视为内节点。则一阶导数 可以用中心差分表示： 同时 点上控制方程的离散采用中心差分： 联立两式消去 得： 式中 为 所代表的控制容积厚度。
第三类边界条件可以表示为 ，将式子带入上式子(1)(2)中，并解出 ，可以得到一阶与二阶截差的节点离散方程：
2）控制容积平衡法
通过控制容积平衡法推导边界节点的控制容积作能量平衡，可以得到： 解出 就可以得到式(2)。由此可见，采用控制容积法得到的离散方程具有二阶精度，并且物理意义明确，因此广泛应用。
2)区域离散法2
边界节点可以看作第一种区域离散中边界节点的控制容积厚度 趋近于0时的极限。则由式(2)式(3)可以得到：
第二类边界条件： 第三类边界条件： 其中 是边界节点与第一个内节点之间的距离。
