CFD理论|对流项的离散格式2

《数值计算》导读：介绍对流项的中心差分与迎风格式。

尽管我们讨论的是对流项，但由于对流项与扩散项之间具有不可分割的联系，因此需要将两项一同考虑

这里我们以最简单形式的方程为研究对象-一维稳态无内热源的对流-扩散方程，这里首先获得该方程的精确解，一维稳态无内热源的对流-扩散方程的守恒形式为：   其中    为常数，方程的边界条件为：   因此可以得到下列解析解：   其中Pe为Peclet数：     。这里需要着重介绍一下Peclet数。下图的不同Pe数下    随    的变化曲线，当    时，    随    呈直线分布，成为常物性纯扩散问题。Pe表征对流与扩散作用的相对大小，当Pe很大时，边界层厚度    就变得很小，此时扩散的作用就可以忽略，对流的作用就是把上游的信息一致带到下游，而通过扩散向上游传递的下游信息基于等于零。

中心差分相当于界面上取分段线性的型线，将方程的守恒形式对控制容积P进行积分，取分段线性型线，可得到离散方程：   把通过界面的流量    记为    ，界面上的单位面积扩散阻力倒数（扩导）    记为    ，则上式化为：   其中    包括了扩散与对流的影响，    部分是扩散项的中心差分，代表了扩散过程；可以发现    ，这是以    为特征尺度Pe数，称为网格Pe数，记为    。

在常物性条件下：可以得到：    前面文章已经提到过对流项的中心差分格式可能会带来物理不真实的解，因此要求    系数均大于0，负的系数会导致物理上不真实的解。

（1）Taylor展开法定义

如下图，以流动方向而言，P点的一阶导数永远是该方向上的向后差分，从上游去获得为构成一阶导数所需的信息：   

（2）控制容积积分法定义

对控制容积界面上的变量      作如下定义：

在e界面上：    

在w界面上：    

为了表达更紧凑：    这里    表示取各量中的最大值。

无论是Taylor展开或是控制容积积分法得到的都是一阶迎风。方程中的二阶导数仍然采用分段线性的型线表示，同样可以得到：    但其中系数有所变化：    

（1）在对流项中心差分的数值解不会出现震荡解的范围内，相当网格节点数下，采用中心差分的计算结果要比迎风差分的结果误差更小。

（2）一阶迎风格式的离散方程要求    永远大于0，因此任何情况下均不会引起解的震荡。

（3）一阶迎风格式的截差阶数低，除非采用细密网格，否则计算结果误差大。

（4）在计算中间过程或软件调试过程，一阶迎风的绝对稳定特性具有应用价值。

（5）一阶迎风为后续二阶迎风、三阶迎风及QUICK格式提供启示。

详细内容参见：

原创文案 |  小陈    &&    校对排版 | 小陈