CFD理论|离散格式中的假扩散
《数值计算》导读：介绍离散格式在计算过程中产生的假扩散。
在数值计算过程中，由于对控制方程进行了离散，因此无论采取哪种方式都会引起误差。从数值解的物理特性而言，这主要是考虑迁移特性、守恒特性是否遭到破坏。
由于对流扩散方程中的一阶导数离散格式的截断误差小于二阶而引起较大数值计算误差的现象称为假扩散(false diffusion)。
这种离散格式由于首项包含二阶导数，使计算结果中扩散的作为被认为地放大，类似于引入人工粘性(artificial viscosity)或数值粘性(numerical viscosity)。所以在文献中，假扩散、人工粘性和数值粘性指的是假扩散。原始定义中假扩散是由截断误差所引起。但在随后数值计算领域中，这个概念有所扩大。
讨论假扩散的目的在于获得合适的离散格式以减少数值计算的误差。在数值计算中，引起较大数值计算误差的原因有三个：- 非稳态项或对流项采用一阶截差的格式，这种沿着流动方向产生的假扩散称为流向扩散(streamwise diffusion)，是一维问题中假扩散的表现形式。
- 流动方向与网格线呈倾斜交叉(多维问题)，在多维问题中，当流动与网格线交叉时，会发生垂直于主流方向的假扩散。这种垂直于流动方向的扩散作用称为交叉扩散(corss-diffusion)，与流向扩散一样，也是由于一阶截差引起。
现在一般都是把这三种原因而引起的数值计算误差都归于假扩散的名称下。
这里我们分析一下一阶截差引起假扩散的原因，我们以一维非稳态纯对流方程的显式、迎风格式为例。
将纯对流方程的离散表达式中的各量对节点 作Taylor展开，如果所得到的与对流离散方程相应的微分方程中含有二阶导数项，则该项就是假扩散项，其系数为假扩散系数（数值粘性系数、人工粘性系数）。将纯对流方程 的显式、一阶迎风格式： 式中 对 作Taylor展开，并代入上式，可以得到： 其中 可以变化为： 带入上式可得： 其中 就是假扩散系数，只有当C等于1时，系数才为零。由此可见对于一维非稳态对流方程，采用显式，迎风格式时，从二维截差的角度来看，离散方程实际上所模拟的是一个对流扩散问题。一阶导数的向前或向后差分的截断误差中第一项就是二阶导数，因此一阶导数项的偏差分是引起假扩散的原因。
对于稳态问题，由于时间导数的偏差分而引起的假扩散项消失，但由于迎风差分而导致的假扩散依然存在。从物理过程本身特性而言，扩散作用总是使物理量的变化率减小，使整个场处于均匀化。在一个离散格式中，假扩散项的存在会使数值解的结果偏离真解的程度增加，假扩散系数越大，偏离得越严重。
原创文案 | 小陈 && 校对排版 | 小陈
