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CFD理论|库朗数的定义

1年前浏览767

导读：今天我们要聊一聊库朗数对于瞬态CFD计算，库朗数的设置至关重要。库朗数，有几个别的名字，又叫做CFL准则，或CFL数。

二维中的释义

我们从二维网格讲起，考虑流动从左往右流过矩形网格。矩形网格的单位长度为，流过矩形网格的速度为。

经过一段时间后，可以计算出，流体在矩形网格中运动的距离，越大，运动的距离越长。

库朗数的物理意义就是时间步长内流体运动距离与矩形网格单位长度的比值：

如下图所示，当库朗数时，实际上可以理解为，在给定时间步长内流体在网格中移动了网格长度30%的距离；但当时，如右图所示，在给定时间步长内流体移动距离超过网格长度10%。

当时间步长、流体速度、网格长度任意一项发生变化，库朗数也会发生变化。因此库朗数可以简单理解为一个比值，在给定时间步长和给定网格中，流体在网格中的运动距离。

三维中释义

对于三维中复杂的网格，我们应该如何去解释库朗数呢？

三维中网格有四面体、六面体和多面体等复杂的几何网格，我们需要更为通用的库朗数定义方法，以便适用于更为复杂的三维网格。

需要找到对所有类型网格都适用的方法来定义网格的长度及速度U，它们分别可以确定库朗数计算式的分子与分母。

在CFD中，网格长度是通过网格体积比上网格总表面积来表征：

这个定义方式对所有形状的网格都起作用。网格的总表面积就是将组成网格的所有面的面积累加起来。

下一步需要完成的是单独考虑构成网格的面。我们需要得到垂直于

面的速度。

左图中网格与二维中提到的网格一样，但在三维中，速度的方向不一定垂直于面。

由于速度与面呈夹角，流体的运动距离只有图中阴影部分显示的距离，因此我们需要对速度取面法向方向上的速度分量，这个法向指的是面指向网格质心的方向；再将该分量乘于时间步长就可以得到流体的运动距离。

这种定义方法对于右侧多面体网格同样也是使用的。因此在三维网格中，库朗数的定义为：

仔细观察，从质量守恒角度出发，该方程存在问题，网格所有表面的总体积通量之和为零。

因此我们需要绕过体积通量。因此我们采用的是体积通量的大小。

在上图第一个图中，左右表面的速度均与法向呈一定夹角，如果把这两个表面的体积通量加起来，就会等于零。但如果我们取它们的绝对值，情况就变成下半部分的图，右表面的体积流量方向被反转，此时库朗数的定义就不为零了。

我们还需要定义一个因子 ,否则体积通量会变为实际的两倍。

比方说，如果左表面的体积通量为4，右表面是-4，它们的和就是0；如果取体积通量的绝对值，则他们的和为8，比实际的更大；因此可以乘上，这样我们就可以考虑单个表面。

综上所述，库朗数在三维中的定义方式为：

将从求和公式提出来，可以得到：

来源：BB学长

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首次发布时间：2023-06-24