CFD理论|SIMPLE算法
导读：如何用SIMPLE算法求解不可压Navier-Stokes方程。N-S方程数值求解的困难性-什么是SIMPLE算法-SIMPLE算法如何求解能量、湍流、组分输运方程。
首先回顾一下不可压Navier-Stokes方程的形式。
第一个方程为不可压连续方程，第二方程包括三个动量方程。
方程中的压强 为运动压强， 为运动粘度。为了简便起见，这里的方程不考虑非稳态项。所以，这里我们有四个方程和四个未知量（速度的三个分量、压强）。
既然有四个方程四个未知量，为什么N-S方程会难解呢？主要有以下几点：
（1）我们有 的方程， 但是没有对应压强 的方程；
（2）由动量方程计算得到的速度场( )必须满足连续性方程，意味着动量方程必须满足连续性方程的约束；
（3）动量方程中的对流项( )是非线性的。
（4）当密度和温度是常数时（比如不可压等温流），没有状态方程来求解压力 （比如 ）。因此我们必须找到另外一种方法。
SIMPLE算法的核心在于：
（1）从动量方程及连续方程推导得到压力的方程；
（2）推导速度场的校正器，使其满足连续性方程。
接下来我们要采用简单的方式来推导这些方程。
首先将动量方程表达成矩阵形式：
为系数矩阵，采用有限体积法/有限单元法，从动量方程的微分项分解得到，这些系数是已知的。这种形式的方程也称为半离散形式方程。举个例子，如果我们考虑x方向的分量，则方程可以表示为：
一共有n个方程，对应每个网格中心点； 为已知量，由于篇幅限制，对于 的求解这里不作展开。
下一步就是将矩阵的系数分离成对角线和非对角线分量：
为矩阵 的对角线，其形式为：
为什么需要作这样的分解？这是便于后续矩阵的求反，举个例子，对角矩阵的逆就是1除以对角线上的每个系数： 
非对角矩阵 则是通过下式求得： 紧接着，我们需要根据分解的方程，重新整理动量方程： 将上式代入连续性方程，可得： 最后我们得到了压力的泊松方程： 因此，现在我们有四个未知方程四个未知变量 。
这里唯一的不同是拥有了压力的方程。## SIMPLE算法的求解流程1.根据动量方程求解速度场，这里的速度场并不满足连续方程：2.根据泊松方程求解压力场：
3.根据压力场去修正速度场，使其满足连续性方程： 4.修正后的速度场如果仍不满足连续性方程，就需要重新第一步，进行循环。因此SIMPLE算法是一个迭代的过程，对速度场进行预测，再通过压力场进行修正。因此SIMPLE算法也称为压力修正算法。
经过体积通量校正后，在SIMPLE算法内求解了能量（ ）、湍流（ ）和组分输运方程。
从动量方程开始，求解速度场，然后计算压力场，在通过压力场修正速度场，然后我们可以计算出输运方程中的能量、湍流参数，更新涡粘参数，就又回到动量方程的循环当中。
最后，我们总结以下SIMPLE算法的几个特点1.SIMPLE算法是“压力基”算法，因为需要通过泊松方程求解压力场；2.在一个非等温流动中，密度是通过状态方程求解（ ）；3.在求解可压缩流时，"密度基"算法也是可用。在基于密度的算法中我们要做的是反过来，求解连续性方程，计算密度场，再计算动量方程；4.在这些算法中，密度是直接通过连续方程求解得到，压力是通过状态方程求解（ ）。
参考文献：Jasak H . Error Analysis and Estimation for the Finite Volume Method With Applications to Fluid Flows[J]. Imperial College London, 1996, m(8):A385.
