首页
发现
课程
培训
文章
案例
问答
需求
服务
行家
赛事
热门搜索
发布
消息
注册
|
登录
首页
/
文章
/
详情
CFD理论|聊一聊有限体积法!
BB学长
1年前
浏览543
关注
导读
:有限体积法的工作原理。
一、求解对象
首先提一下我们的主角Navier-Stokes方程:
为了能够通过SIMPLE算法求解Navier-Stokes方程,我们需要将该方程改写为下列矩阵形式的方程:
其中
为了系数矩阵,
是每个网格未知的速度矢量,
为右侧项。
一旦我们将Navier-Stokes方程写成线性化矩阵形式,我们就能够通过各种线性方程求解器来求解迭代过程中的速度场。
因此本文主讲解重点是将Navier-Stokes方程转换为矩阵形式,然后通过有限体积法求解。
二、有限体积法
为了方便演示,我们以稳定、不可压缩的Navier-Stokes方程为例:
采用三维多面体网格进行离散化。
在二阶有限体积法中,流动变量(
)沿着网格线性变化,这些流动变量,包括压力、温度、速度等会被存储网格中心(
)。
我们同样需要考虑相邻网格,通常每个网格都有
个相邻网格,流动变量存储在这些网格中心(
)。
这就是有限体积最原始的样子。
三、有限体积法工作原理
首先,我们需要沿着网格
对Navier-Stokes方程进行积分:
通过积分的加法运算,意味着我们可以把上式括号里不同项分开,再对他们逐个积分:
在方程的左边,我们有对流项。方程右边有压力梯度、扩散项,还有一些源项,这里的源项是重力项。
3.1 源项
我们先来看一下源项,由于重力加速度
是恒定,因此可以提到积分号外部,得到:
为网格
的体积。回顾一下,前面提到的矩阵形式:
因此源项中,重力
乘以网格体积
完全不依赖速度,可以添加到方程右边(向量
),而任何与速度成正比的东西都会被加到左边的系数矩阵中,所以常数源项,比如重力,很容易处理。
如果源项线性依赖速度要怎么处理?
假设源项
被添加到Navier-Stokes方程(
表示标量):
同样需要将该源项在网格内进行积分:
(首先
是标量,可以放到积分外
;由于这是二阶的有限体积分法,速度在网格内的变化也是线性的,因此可以通过w网格中心的速度
以及其他位置到网格中心点
的距离获得速度值,从而对速度的体积积分进行展开;最后在将括号里面的加法进行展开,第二项的积分恒等于0,这是网格中心的定义)
这就是线性源项:
重新回到矩阵形式,如果我们把源项挪到左边
可以添加到矩阵
中,或者
添加到矩阵
中。
因此对于源项我们有两种不同的处理方法:将它作为隐式项添加到左边,或者让将它作为显式项加到右边。
这样处理会有什么区别呢?
如果是隐式处理,将矩阵
相加,则会得到下列矩阵:
这是一个对角矩阵,因此我们现在关注的是网格的中心,矩阵内非对角项则是与相邻的网格相关。
如果是显式处理,则会变为:
在CFD求解中,求解器通常会动态选择使用显式处理或隐式处理,如果S项是负的,而我们想要对角线项的贡献是正的,则应该选择隐式处理,可以增强对角线优势,使矩阵更加稳定。
如果S项是负的,这就减少了对角线的优势,所以应该选择显式处理。
因此源项的处理取决于我们是否要改善求解的对角线优势。
如果是非线性源项呢?
假如我们面对的是下列源项:
我们通常会尝试线性化源项:
对源项的积分,由于上一次迭代的速度是已知的,因此可以得到:
这是一种混合的隐式+显式处理方法。同理,我们可以采用同样的方式处理速度的立方项。
3.2 对流项与扩散项
对流项与扩散项具有散度计算(
),因此他们更难处理。
由于篇幅有限,这里主要讲解对流项。
我们一般是用散度定理处理对流与扩散项。
散度定理指的是对任意向量的散度积分等价于向量的曲面积分:
因此我们可以通过散度定理修改对流项及扩散项,算出积分:
速度,单位法向量和表面的点积就是流出表面的体积流量:
括号外面的速度(
)就是我们需要求解的量。
接下来我们需要分解曲面积分:
速度沿着面的变化是线性的,因此我们可以取面中心的速度
作为速度面积分的近似【1】。
这样一来我们就消除了积分,只需要做求和。
但是这里
其实是未知的,我们只知道网格中心的变量值。因此我们需要进行插值。
在CFD中提供多种插值方式来求解面速度
,包括:迎风、二阶/线性迎风、中心差分、QUICK。
小结一下,对流项我们可以写为:
因此我们可以将对流项加入矩阵形式当中:
如下所示,对流项会带来对角线项和非对角项,这是相邻网格连通性的体现:\mathcal{M}=\left(
\right)。
4 小结
(1)Navier-Stokes方程中的每一项都能够一一积分:
每一项对矩阵
的贡献不同。我们需要做的就是将这些贡献加起来组成完整的矩阵形式
(2)这些贡献会矩阵带来对角线项和非对角线项,如:
[1]Jasak H . Error Analysis and Estimation for the Finite Volume Method With Applications to Fluid Flows. 1996.
Fluid Mechanics101
来源:BB学长
登录后免费查看全文
立即登录
非线性
理论
曲面
著作权归作者所有,欢迎分享,未经许可,不得转载
首次发布时间:2023-06-24
最近编辑:1年前
BB学长
硕士
|
研发工程师
公众号BB学长 知乎BB学长
关注
获赞 89
粉丝 172
文章 176
课程 1
点赞
收藏
0/200
清空
提交
还没有评论
课程
培训
服务
行家
强冲击问题的数值模拟及其应用
2022第四届中国仿真技术应用大会-复合材料专题论坛(回放)
飞行器结构设计之铆钉有限元计算应用(回放)
第三届中国仿真技术应用大会主论坛——线上会议特邀主旨报告
相关推荐
庖丁解牛:公路工程高边坡从计算到设计一体化
大工唐春安教授:数值试验研究方法与RFPA教学改革实践(直播回放)
大连理工大学王永艺:玄武岩柱形成机理及其力学特性研究
塑性力学理论与实践合集13讲:筑牢模拟仿真的根基-提高模拟仿真的准确性
最新文章
IV储氢气瓶失效的一般分析步骤和思路
一百零一、Fluent湍流模型详解-雷诺平均方法:Spalart-Allmaras模型(一方程)
欧特克Autodesk 的专有几何建模内核 ShapeManager(ASM 引擎)
通信原理与考研 第八章 新型数字调制(4)
《Mechanics of Solid Polymers》5 弹性/超弹性
热门文章
力学基本概念-【模态分析】
辊压、分切工艺解析及辊切一体化
Synopsys收购Ansys,有什么影响?
RED-ACT |1月23日新疆乌什县7.1级地震破坏力分析
国家卓越工程师奖出炉!点亮工程领域设计仿真工程师奋进的“灯塔”
其他人都在看
转子轴承齿轮箱综合故障模拟实验台在高校科研领域的作用
基于VirtualFlow的壁面过冷沸腾数值模拟及结果对比
【2024 R1 版本更新】Ansys Zemax / Lumerical / Speos
反应速率的UDF实现与软件自带结果对比(二)
ACLR 和 ACPR
VIP会员
学习计划
福利任务
下载APP
联系我们
微信客服
联系客服
人工服务时间为周一至周五的9:30-19:30
非工作时间请在微信客服留言
客服热线:
4000-969-010
邮箱:
service@fangzhenxiu.com
地址:
北京市朝阳区莱锦创意园CN08座
帮助与反馈
返回顶部