CFD理论|网格体积的求解

在CFD计算中，源项的求解需要用到网格体积，比如在湍动能的输运方程中：

将湍动能在网格进行积分，可以得到：

篇幅所限，这里只讨论最后一项源项，在使用有限体积法求解输运方程时，首先需要对控制体积上的方程进行积分，由于积分是满足加减法运算，因此可以对每一项单独积分再相加，因此可以得到源项的对控制体积的积分：

因此，源项的体积积分可以等于网格中心的值乘上网格体积：

在CFD计算中，所有变量在网格中都是线性变化。如果源项在网格中是线性变化的，则可以通过中值定理来求解。

中值定理

在网格中任意的两个节点之间画一条线，可以发现变量在网格中呈线性变化，就是下图红色实线所示，如果我们积分这条线下的面积，无论直线的斜率如何变化，积分的效果都是一样。

因此，源项的体积积分可以等于网格中心的值乘上网格体积：

在CFD计算中，所有变量在网格中都是线性变化。如果源项在网格中是线性变化的，则可以通过中值定理来求解。

那么网格体积    如何求解呢？

对于简单的网格，比如直角三角形、正方形或其他四边形，可以通过简单的方法（比如一些基本的向量微积分）来计算网格的面积或体积。

但在实际划分网格时，网格通常不是规则的方形或三角形，更多的是各种不规则的形状。

我们需要一种方法可以计算这些网格体积，包括多面体网格、倾斜网格和拥有不同尺寸面的网格。

本文从散度理论推导网格体积的计算方法，这种方法可以应用于任何形状的网格体积计算。

对于任意向量场    ，高斯散度定理均可以表示为：

为了可以通俗地理解，想象有一个盒子，向量场    用盒子里面的小球表示：盒子里面累积小球的数量等于小球通过盒子外表面的通量，这就是散度定理的全部含义。

不难发现公式的左边是体积积分，右边是面积分，现在我们要利用这一点计算网格体积。

令    ，可以得到关于网格体积的方程：

散度定理对任意场    都是有效的，我们需要找到一个场满足    ，以便求解网格体积。

令    ，则：

将上式带入散度定理：

就可以得到：

这是一个对网格所有表面的面积分。对于网格表面所有的点，都有其对应的法向向量，以下图为例（当然网格的性质可以是任意）。方程的含义就是在网格表面积分单位法向向量与其点左边的乘积。但是在曲面求解这个积分同样存在困难，需要进一步简化。

高斯散度定理对所有封闭空间均是有效的，无论是规则或者不规则的形状

每个网格的面是有限的，我们可以把整个曲面的积分，分解为每个面的曲面积分，在累加起来，就可以得到：

前面我们提到所有变量在网格中的变化都是线性的，如果下图蓝色阴影渐变一般。同样变量在网格表面变化也是线性的。因此我们可以用面中心的值代替整个面的积分。

因此方程中的面积分可以转换为：

下标    表示面中心的值，这个方程就是求解网格体积的公式，并且它对所有形状的网格均是有效的。

需要特别指出的是    的含义，以    为例，如下图：

   是相对于网格中心进行测量得到，而不是建立在全局参考系的    坐标。

公式在计算2D网格时会有些不同，因为它没有"Z"坐标。

同样基于散度定律：

需要找到二维向量场来满足    ：

令    ，可以得到：

因此得到的2D计算公式略有差异：

上方是二维计算方式，下方是3维计算方式，差别在1/2和1/3。

考虑两个并排的矩形，长宽分别为2、1。

接下来通过公式计算两个矩形的面积（已经知道结果为2）。

首先关注左边的矩形：

要注意到：单位法向量总是指向网格外侧，因此点积的结果总是正的。因此无论网格质量如何，其体积都是正的。

接下来看一下右侧的网格：

右侧网格体积的计算方法与左侧计算方法相似：

需要注意的是此处    是根据网格中心进行测量的。

1.高斯散度定理可以推导出网格体积公式；

2.式可用于任意    面单元格(多面体)；

3.用于倾斜细胞和不同大小的细胞(不规则多面体)。