湍流建模|01工程湍流模型（下）

导读：工程湍流模型概述-下。

涡流的大小尺度之间存在差异，求解的时候必须同时对两者进行求解，湍流是一个连续问题，用Navier-Stokes方程描述。因此湍流建模不存在问题。

但是求解数值仿真中的所有湍流尺度的代价非常高昂

• 在数值模拟中解决所有尺度的湍流被称为“直接数值模拟”(DNS)
• DNS计算量非常庞大，从大小尺度的比例可以观察得到：

• 并且这些尺度必须在三位模型求解~      
• 此外，也要同时求解湍流尺度      

因此DNS的求解成本约为雷诺数    的三倍，对于求解高雷诺数流动，其成本非常高。通常只能对非常简单的域和非常小的雷诺数进行DNS仿真，一般不用于工程仿真。

• DNS：直接数值模拟
• 对所有尺度涡流进行求解
• 无需额外的湍流模型
• 对于实际流动而言，计算量过大

• LES：大涡模拟
• 大涡直接解析，小涡直接建模
• 计算量比DNS少，但在实际应用中往往计算量庞大

• RANS：雷诺平均方法
• 计算湍流信息的平均数，求解时间平均方程

这是工程应用中最常用的方法。应用RANS必须建立模型来解释湍流效应。

假定我们在上图位置放置监测点，并记录信号，比如x方向的速度，可以得到：显然可以通过这些数据得到平均值和一些波动量：

我们需要某种平均方法可以应用到方程上。

雷诺平均法是通用的平均方法，取监测点在时间和空间上的速度，将其分解为平均速度和波动速度，经过多次反复实验，来定义平均速度：

如果实验稳定，就可以用简单的时间平均代替整体平均，这就是雷诺平均方法的基本原理：用平均场和波动场代替真实的速度场。

将平均速度和波动速度代入Navier-Stokes方程可得：

将平均速度和波动速度代入瞬态Navier-Stokes方程：

这里有一些做平均的规则：

基于以上规则，可以得到雷诺应力项/湍流张量，即：

RANS方程(Reynolds Averaged Navier-Stokes equations)

与动量方程类似，对流项的时间平均值、压力项、分子项都是基于平均流动，根据雷诺应力张力得到最后一项附加项，该点的雷诺应力张量未知，因为这是湍流对平均流动的影响。

我们可以将雷诺应力当成接口，应用湍流模型，将上述平均流动方程与湍流关联起来。

根据定义，雷诺应力张量是对称的，实际上只有6个独立分量，而不是9个分量（因为矩阵对角线上端和对角线下端是一样的）。

RANS没有在时间和空间上直接求解异常复杂的湍流运动，而是通过时间平均量来求解，最后得到空间尺度、时间尺度、涡流粘度和平均流速。RANS方法虽然简化了很多过程，但同时在平均过程中丢失了所有湍流信息。因此有必要对湍流进行建模。

RANS方法可能会带来很大的误差，误差的大小取决引入湍流模型的细节，这一问题没有通用的解决方案，因为湍流模型和湍流建模方法很多。当然仿真结果的准确性还取决于其他方面，包括数值、求解、壁面处理等。

作为CFDer，需要了解湍流以及如何对它们进行建模。

RANS的控制方程中，具有三个动量方程、质量守恒方程、三个速度分量和压力，同时也有额外的六个雷诺应力分量。独立变量数超过了方程数，因此无法直接求解方程组。

RANS方程解决这个问题有两种不同的途径：

涡粘模型

• 通过引入湍流粘度（涡粘度）      来对应力张量      进行建模，增加流动的混合方式。
• 这种方式应用非常普遍，在所有运行的仿真软件中，这种方法的使用率约为95%甚至99%。

涡粘模型

• 涡粘模型的关键概念是Boussinesq 假设
• Boussinesq假设认为雷诺应力可以通过湍流粘度      类比为粘性或分子应力：    

  其中      表示应变率张量。

因此两者的关系可以表示为：

需要注意的是湍流粘度    不是流体特性，而是湍流特性。

（后面课程会展开详细介绍）

雷诺应力模型RSM

相比之下，雷诺应力模型并没有基于假设，而是直接从Navier-Stokes方程导出了一些二阶矩封闭公式。

我们有六个独立雷诺应力需要与尺度方程结合，还需要涡流尺寸信息及其应力分布。

• 每个未知的雷诺应力都有独立求解变量，需要求解六个额外的输运方程和动量方程。
• 计算成本较涡粘模型增加了不少，雷诺应力模型通常很难收敛，对网格质量要求更高。这也是RSM无法在工程仿真产生重要影响的主要原因。

如果流动过于复杂导致前面假设不适用，就需要用到SRS模型。

SRS指的是至少可以求解一部分流域的湍流，并不要求在SRS模型下求解所有的域，也不会求解尺度解析区域中的所有涡流，但至少能够求解部分流域中的一些涡流。

• DNS：直接数值模拟

在时间和空间尺度上求解所有湍流；随着雷诺数增加，计算成本极高。

• LES：大涡模拟

求解尺度大的涡流，对小涡流进行建模处理；不稳定，时间步长由最小解析涡流决定。

• 混合SRS模型

结合RANS方法和LES方法的特点。

• 在CFD中使用RANS模型，相对于DNS，将所需的计算能力降低了许多个数量级
• 简化的同时也会带来一定的小误差
• 根据应用场合，RANS可能会对仿真带来不同程度的误差，作为CFDer必须找到方法将误差降到最低。
• 意味着要选择合适的湍流模型和子模型、高质量的网格、最佳的数值设置
• 如果RANS模型无法解决，则要尝试从SRS模型下手。

总而言之，湍流本质上是不稳定、不规则、而且是三维的，它们拥有广泛的时间和长度尺度。

在这些流动中，湍流由Navier-Stokes方程控制，因此原则上我们可以对其进行求解，但是需要求解所有尺度，从耗散到Kolmogorov尺度到平均流动尺度，会导致数值仿真成本太高，不适用于工业应用。

RANS是其中一种方法用于消除湍流尺度，其控制方程为雷诺平均Navier-Stokes方程。为了得到封闭的方程组，需要对这些方程组中的雷诺应力项进行建模，使方程组封闭。