湍流建模|02涡粘度模型-上

导读：介绍涡粘模型-上。

Boussinesq在1887年提出，雷诺应力    可以通过涡流（湍流）粘度    与平均速度梯度建立联系：

其中    是标量，    为湍动能。

   可以通过湍流的特征速度    和湍流特征长度    ，或者其他两个独立标量的乘积：

   为常数。

现在的问题在于如何在湍流模型中计算涡流粘度。

有一块平板，两个速度流，分别位于平板顶部和底部，顶部的速度快，底部的速度慢。

• 假定这是非粘性流动，即完全不具备分子粘性。分子就会一直沿直线运动，平板上下方的速度分布将不连续，会在平板附近发生突变，上下层的动量不会发生交换。

• 在层流运动中，边界层会发生所谓的布朗运动或热运动，平行流会存在随机分量，流动中的分子会相互混合。如下图。红色分子被推送到低速区域，蓝色分子被推送到高速区域。这就是混合过程，是的跨越界面的速度场平顺化，但仍然是层流。这种动量的传输是通过粘度张量来进行的，分子粘度乘以应变率：

需要注意的是这种混合的动力是原子或分子因为热能发生的随机运动。

如果对湍流采取相同的设置，分子之间的混合和层流混合层非常类似：

但在湍流中，这种混合现象更加剧烈：由此可见分子粘度机制与湍流机制非常相似，因此我们把这种机制称为湍流粘度:

从湍流粘度的量纲中，可以知道湍流尺度的平方与时间成正比关系。而我们最主要关注的是大尺度湍流，因为大尺度是混合的促成因素，如果涡流尺度增大一倍，分子粘度上混合效应就会增加三倍。

因此需要某种输运方程，用于反映湍流的长度尺度和湍流的时间尺度。这就意味着我们需要两个方程以便计算这两个单独的变量。

这是最简单的方式推导湍流粘度模型，只有一个尺度方程。

单方程模型在工业界使用较小，这些模型中Spalart-Almaras模型使用最为频繁，属于空气动力学模型。这里不做展开。

双方程模型用于计算两个独立的尺度（从而获得湍流粘度）：

两个输运方程用于计算两个独立的变量。

• 湍动能      用于计算湍流尺度，而      可以通过其输运方程求解；
• 第二个尺度则是通过湍流耗散率      ，或涡流方程      ，      和      也是通过各自的输运方程获得。

• 流动能      是湍流中与涡流有关的单位质量的平均动能，通过波动速度的均方根来表征：

• 湍流耗散率      是湍流动能(k)转化为热内能的速率：

• 速度尺度      :      
• 长度尺度      :      最终得到的湍流粘度为：

• 首先从瞬时速度的Navier-Stokes方程开始，用平均速度      和波动速度      代替NS方程中的速度项      ：

• 方程两侧同乘以      ,并作时间平均：

• 带入湍动能      ，最终可得：

至此，推导出了湍动能的方程，但是方程存在未知的附加项，比如说    、    、    。

因此到这里，我们只是得到一个用作求解的准确的方程，但并未能够求解。

• 时变项（Change in Times）：表示湍动能随时间的变化；
• 对流传输项（Convective Transport）：表示湍动能在空间上的变化；
• 生成项（      ）：表示湍流波动间的相互作用，湍流平均流中获取能量，所以如果没有平均流梯度，就不会有湍流，平均流梯度是湍流的起点。
• 耗散项（      ）:如果此项为负，它就会的吸收来自生成项的能量；
• 湍流扩散项（Turbulent Diffusion）：如果在整个混合层积分此项，得到混合层外层的被积函数，在两侧均为零，因此此项既不会产生什么，也不会破坏什么，它只是让能量稍多分配在内侧；
• 分子扩散项：这是经典的梯度扩散项。

公式中时变项和对流项是确定的，分子扩散项也是可以求解的，并且在高雷诺数条件下，该项可以忽略。

生成项，可以引入湍流粘度    来代替    ：

湍流扩散项通过引入系数建模为梯度扩散项：

通过仿真与实验数据对比确定这个扩散系数。

可以从Navier-Stokes方程推导    方程，该方程非常复杂并且高阶修正项，因此很难应用。

因此这里通过K方程推导    方程，假设    方程的结构形式与k方程形式一样，方程的每一项与k方程成比例因此方程中引入了三个系数

湍动能和耗散率方程为：

   为湍流生成项为常数项，通过实验数据或DNS确定。

优势：

• k-      模型是相当成熟的模型，比较完善；
• 稳定且数值鲁棒性好，可用于和壁面函数配合。不足：
• 在壁面处的积分难度大；
• 对分离流动的预测能力有限；
• 不完全兼容层流/湍流转捩模型。