空气声学|数学模型

导读：声学的数学模型。

• 声压波的运动可以用基本流体力学导出的波动方程进行数学建模。
• 对于许多应用，只有波的传播是重要的，而波动方程的解是足够的。比如说：来自一个模拟的扬声器的波的传播
• 但是在航空声学中，声源（产生）和传播都是很重要的。后面会介绍使用CFD方法来建模这两种物理现象的物理方法

简要回顾声波方程，它可以导出的声学控制方程。

• 为了得到这个方程，假设压力波是相对于均匀的环境压力的小的波动，，，并且平均流量可以忽略（静止环境）。
• 所得到的简化方程可以写成如下：

由于这个方程的右边为零，所以它被称为齐次波动方程

• 利用理想气体的压力和密度之间的关系,也可以用密度扰动来写这个方程，

齐次波动方程存在一个简单的解

• 在一维空间中，一个简单的解对应于平面波    
• 在三维空间中，对于球形波也存在一个解：

• 考虑一个带有球形波的三维解决方案，假设没有入射波（也称为自由场条件，并包含𝑔= 0）

A : 波幅      :波数

• 受波影响的流体粒子的径向速度可用以下公式计算：

• 因此径向速度的求解方式为：

输出的球形波对应于一个单极子声场。

波动方程可以使用长度、时间和因变量（密度、压力等）的参考量进行无量纲化:

其中：

• 根据声频（      ）进一步定义参考时间（      ），即      ，就可以重新定义波动方程为：

其中：

• 𝐻𝑒被称为亥姆霍兹数。亥姆霍兹数可以用来确定一个重要的性质，称为声致密性（acoustic compactness）。

• 当亥姆霍兹数较小时，只有当无维波方程的时间导数项乘以      时，声扰动才成为空间的函数。
• 𝐻𝑒≪1的区域称为声致密区域。
• 对声学紧致性的一种解释是，声波波长      比长度尺度      要大。如果      表示噪声源的大小，那么如果是      ，则认为噪声源具有声学紧凑性。
• 从物理上讲，声的致密性意味着只需要在源区域之外考虑声的传播，而声发射对流场的影响可以忽略不计。