汽车传动轴当量夹角的仿真研究
万向节传动的工作条件在很大程度上决定于它所连接两轴的夹角，在设计多万向节传动时，总是希望其当量夹角尽可能小，一般设计时应使空载和满载两种工况下不大于3deg，过大会导致寿命下降和效率降低。最优选择传动轴在汽车各种行驶工况下具有最小的当量夹角和最优长度，是汽车设计中的一个重要问题。本文首先建立其传动轴数学模型，并用MATLAB对现有的部分硬点进行优化，提出了万向节传动轴当量夹角优化设计方法，使传动轴在空、半、满载及25%超载量下传动轴当量夹角满足要求。
当十字轴万向节的主、从动轴之间的夹角为时，主，从动轴的角速度为、之间存在以下关系：
上式中，
2、基于单万向节转角差的简化公式推出了空间多万向节传动输出轴与输人轴转角差的计算公式：
式中：为输出轴相对于输入轴的当量夹角;
式中：
1、设计变量
在三万向节传动设计中，一般选取第一和第三万向节中心位置以及输入轴、输出轴的方位角，通常选中间支承的位置坐标（X,Y,Z)和传动轴两端万向节叉的相位角(
2、目标函数
目标函数取多万向节传动的当量夹角最小。在本文中以传动轴当量夹角、输出轴与输入轴转速波动百分比u为优化目标进行传动轴硬点优化。即
3、约束条件
（1）优化第二万向节中心硬点坐标，使得各工况当量夹角最小，并小于3°。
（2）保证传动轴不致产生共振现象，设中间传动轴和主传动轴的长度分别为，，传动轴的临界转速为（r/min）：
式中：为传动轴长度，即两万向节中心距；，为传动轴管的外、内径。
1、优化分析
利用三维软件建立传动轴仿真模型，并编制优化程序，对传动轴当量夹角进行优化分析。
图1 三万向传动轴数学模型
2、计算公式
由三万向传动轴的数学模型可知，要求传动轴的当量夹角，需建立相应的平面方程。再求空间平面夹角，根据当量夹角计算公式即可求出当量夹角。如空载时传动轴空间平面夹角及当量夹角计算公式推导如下（主要推导空间平面夹角θ1，平面夹角θ2、θ3方法同下）：
图2两平面夹角图示
空间平面夹角θ1：
P12=P2-P1；
P23=P3-P2；
P13=P3-P1；
L12=(P12(1)^2+P12(3)^2)^0.5；
L23=(P23(1)^2+P23(3)^2)^0.5；
L13=(P13(1)^2+P13(3)^2)^0.5；
ang1=acosd((L13^2-L12^2-L23^2)/2/L12/L23)；
则三万向传动轴当量夹角为：
ang=((ang1^2-a*ang2^2+b*ang3^2)^2+(c*ang2^2-d*ang3^2)^2)^0.25.
其中P1为输入轴轴向点，P2、P3及P4分别为第一、二及三十字轴中心点，P5为输出轴轴向点。根据三维模型，当量夹角公式为θ=((θ1^2+θ2^2-θ3^2)^0.5，故系数取a=-1；b=-1；c=0；d=0；且ang2、ang3分别为空间平面夹角θ2、θ3。
图3 程序优化界面 图4 优化后结果
3、优化前后的传动轴硬点对比
表1 优化前后传动轴硬点分布
4、优化前后各工况的当量夹角对比
表2 优化前后当量夹角及转速波动数值
5、传动轴最大长度及临界转速优化前后数值
利用MATLAB编制传动轴最大长度及临界转速程序，计算结果如下表所示。
表3 优化前后传动轴长度及临界转速数值
（1）从优化结果中可以看出，当量夹角优化量最大的是空载工况下由优化前的3.82deg减少到1.95deg；
（2）满载工况由优化前的2.28deg减少到2.02deg；
（3）优化后传动轴最大长度由优化前的1068mm减少到1036mm，临界转速由优化前的11043 r／min减少到11727 r／min，优化量达到684 r／min，效果明显。
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