圣杯问题 II 陈类的巧妙应用(下)

顾险峰（纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授）

正则同伦和通常意义下的同伦具有本质差别。假设光滑曲面是一个拓扑球面，和是光滑封闭曲线（切向量处处有定义），那么可以在曲面上形变成，换言之，和彼此同伦（homotopy）。如果，我们要求在形变过程中，不出现尖点，切向量处处有定义，那么我们说和彼此正则同伦，或者光滑同伦（regular homotopy）。图6显示，具有偶数个自相交点的圈和简单圈（无自相交点）正则同伦。

图6. 具有偶数个自相交点的圈和简单圈（无自相交点）正则同伦。

图7. 具有奇数个自相交点的圈和简单圈同伦，但是不正则同伦。

图7显示了具有奇数个自相交点的圈和简单圈同伦，但是并不正则同伦，因为在形变过程中，出现了尖点，在尖点处曲线的切向量无法定义。

那么，曲面上所有光滑圈是如何被正则同伦分类的呢？这里，我们需要引入另一位菲尔茨奖得主斯梅尔（Smale）的工作。我们考察特殊的一个纤维丛：曲面的单位切丛（Unit Tangent Bundle）：由曲面上所有的单位切向量构成的三维流形。我们在曲面上固定一个点，过此点所有的单位切向量构成一个圈，即一根纤维。局部上看，单位切丛具有直积的结构，整体上看，单位切丛具有具有扭曲，这种扭曲的精确描述就是陈省身示性类。

底流形上的一条光滑曲线，可以被“提升”为单位切丛上的一条曲线，点被提升为点，这里s为弧长参数，为曲线的单位切向量。斯梅尔证明了：底流形上两个圈正则同伦，当且仅当它们的提升在单位切丛上同伦。因此，问题归结为单位切丛的同伦群计算问题。

我们考察球面的单位切丛。首先，根据“法球定理”（hair ball），我们无法将一个椰子上的须毛梳理光顺，总是存在几个奇异点。换言之，球面上的光滑切矢量场，必然存在零点。用我们现在的语言来解释就是：在单位切丛中，我们是否能够找到一张光滑曲面（全局截面），全局截面和所有的纤维只有一个交点。全局截面的存在性障碍就是陈省身示性类。全局截面，就是曲面上处处非零的光滑切矢量场。

图8.球面的单位切丛。

我们考察球面的单位切丛，记为。半球面上存在处处非零的光滑切矢量场，因此半球面的单位切丛平庸，即单位切丛为圆盘（底空间）和圆周（纤维）的直积，拓扑为实心轮胎，如图8所示，a代表了纤维，b代表了赤道。

我们将两个实心轮胎沿着边界粘和就得到。粘合模式由边界轮胎曲面间的拓扑同胚所决定，。我们用球极投影将球面投射到平面上面，将投影中心设为北极和南极，就得到两个局部坐标，坐标变换函数为，。由此，我们得到粘和映射。更为严格的，的拓扑结构由粘和映射的同伦类所决定。如图8所示，粘和映射诱导了轮胎曲面的同调群之间的同态，，同态在同调群基底上的作用为，其矩阵表示为：

。换言之，粘和映射把纤维映成纤维，但是把赤道b映成了扭曲的2a+b。在左边实心轮胎中，存在曲面以b为边界；在右边实心轮胎中，不存在任何曲面以2a+b为边界。因此，全局截面不存在，这里的2就是陈数。

左侧实心轮胎的同伦群为，右侧实心轮胎的同伦群为，交集的同伦群为。同时，在中我们有，；在中我们有，。根据Seifert-van Kampen定理，我们得到单位切丛的同伦群为:

模2域只有两个元素0和1，这意味着：在球面的单位切丛上，所有封闭曲线只有两个同伦类。根据斯梅尔定理，在球面上，所有光滑封闭曲线只有两个正则同伦类，具有奇数个自交点的光滑圈彼此光滑同伦，它们都和8字形光滑同伦；具有偶数个自交点的光滑圈彼此同伦，它们都和单点光滑同伦。

图9. 以光滑曲线为边界的曲面，若曲线有偶数个自交点，则没有分支奇异点；若曲线有奇数个自交点，则必有分支奇异点。红色曲线是曲面自相交线。

如图9所示，更进一步，假设具有偶数个自相交点，则我们可以构造一个光滑曲面以为边界，同时有自相交曲线，但是上面没有分支奇异点；反之，若具有奇数个自相交点，则我们构造的以为边界的曲面，必然有分支奇异点。

那么，我们如何消除分支奇异点呢？瑟斯顿提出了一个绝妙的主意。

瑟斯顿说给了一对分支奇异点，我们可以如图10所示对曲面进行手术，从而消除分支奇异点。

图10. 瑟斯顿的手术，消除分支奇异点【4】。

我们深究瑟斯顿的想法，由一些分离的圈组成，他把这些圈依据自相交点数的奇偶分成两类:

，

这里有偶数个自相交点，有奇数个自相交点。对于任意一个具有偶数个自相交点的圈，我们可以构造一个光滑曲面，使得其边缘为，，同时上没有分支奇异点。对于任意一对，我们可以运用瑟斯顿的手术构造一个光滑曲面，使得其边缘为，，同时曲面上没有分支奇异点。如果具有奇数个自相交点的圈有偶数条，则我们可以构造曲面族，它们彼此相交，没有分支奇异点。

有了曲面族，下一步我们添加一些气泡来生成六面体网格的对偶，然后再将对偶回去，就会得到内部的六面体网格。

图11. 二维的气泡包裹法（bubble-wrap）【4】。

我们用图11来解释如何添加气泡，使所有曲面的交点都不是分支奇异点。图11显示的是二维的示意图，其原理可以直接推广到三维情形。首先，将内部进行胞腔分解（第一帧），我们再将胞腔分解加细成三角剖分（第二帧），将三角剖分的顶点（3帧），边（4帧）和面（5帧）用气泡包裹，得到最后一帧。在三维情形，我们还需要将所有的四面体内部进行气泡包裹，所得的曲面族（并上气泡）彼此相交，每个交点都不是分支奇异点，所有三个内部曲面的交点都是三重点。由此我们得到了六面体网格的对偶。

至此，我们已经详细分析了 Mitchell-Thurston理论的所有组成部分，因为逻辑链条过长，我们在这里进行汇总。

假设是三维空间中的一个实体（Solid），其边界是一张光滑曲面（RegularSurface），更进一步，我们假设是亏格为0的封闭曲面。假设边界曲面上给定四边形剖分，具有偶数个四边形面。的对偶由一些分离的圈组成，他把这些圈依据自相交点数的奇偶分成两类:

，

这里有偶数个自相交点，有奇数个自相交点。根据欧拉公式的顶点V，边E和面数F满足：

因此顶点数必为偶数。任意两个圈的交点个数必为偶数。因此，所有圈的自相交点的个数必为偶数，具有奇数个自相交的圈的条数n必为偶数。过每一条构造光滑曲面；将配对，过每对构造光滑曲面，曲面族没有分支奇异点。再用气泡包裹法，得到六面体网格对偶。

由此，我们完整地证明了猜测：对于拓扑球面，四边形网格具有偶数个面，则可以延拓成内部的六面体网格，反之亦然。

Eppstein 给出一种算法，证明了中六面体的个数和中的四边形个数之间可以成线性关系。Mitchell依据这套理论开发了“鲸须”算法【6】。

我们看到，貌似简单的六面体网格问题涉及了许多拓扑学中的深刻定理和复杂工具，包括惠特尼的子流形稳定横截理论，陈省身的纤维丛示性类理论，斯梅尔的正则同伦理论，瑟斯顿的手术和气泡包裹技巧。

那么，复杂拓扑体的非结构六面体网格存在性理论又是如何呢？我们将会在下篇再用同调理论来详尽解释。

【1】http://www.ics.uci.edu/~eppstein/gina/Thurston-hexahedra.html

【2】Scott A. Mitchell, "A Characterization of the Quadrilateral Meshes of a Surface Which Admit a Compatible Hexahedral Mesh of the Enclosed Volume." In proc. 13th Annual Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science (STACS `96), Lecture Notes in Computer Science 1046, Springer, pages 465-476, 1996.

【3】Hassler Whitney. The singularities of a smooth n-manifold in (2n-1)-space. Ann. Math. 45(2):247– 293, 1944.

【4】Jeff Erickson. Efficiently hex-meshing things with topology,Discrete & Computational Geometry52(3):427–449, 2014.

【5】David Eppstein. Linear-complexity hexahedral mesh generation. Comput. Geom. Theory Appl. 24 12:3–16, 1999.

【6】Nathan T. Folwell and Scott A. Mitchell. Reliable whisker weaving via curve contraction. Eng.32 Comput. 15(3):292–302, 1999.