圣杯问题 III 同调论的观点(上)

顾险峰（纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授）

波士顿三一教堂，姜健摄影。

2016年的诺贝尔奖颁发给了拓扑凝聚态物理，拓扑一时风靡全国，各种拓扑概念炙手可热。拓扑中最为常见、也是最为强有力的理论工具当同调代数莫属。神圣网格问题的基本拓扑工具既包括微分拓扑中子流形的光滑浸入理论、又包括代数拓扑中的同调理论。

一百多年以前，在庞加莱发明同调论的时候，世上没有计算机，没有有限元理论，更遑论神圣网格问题。但是同调论的核心思想恰恰正好契合了神圣网格的核心问题，其恰切程度往往令人觉得同调论的发明正是为了解决神圣网格问题。历史如此惊人的巧合，再度验证了抽象数学不可思议的普适性和实用性。今年的诺贝尔生理医学奖得主大隅良典有一句名言：“科学并不从属于技术”，另一方面，技术的发展更应该以科学为指导，顺应科学。

十九世纪末叶，在美丽的法国南锡，数学家拓扑学之父庞加莱思索着这样一个问题：假如有一只具有高度智慧的蚂蚁，生活在一张曲面之上。因为蚂蚁生活的空间是二维的，它也无法跳跃，因此也没有三维概念。那么这只蚂蚁是否能够判断它生活的空间更像是一个苹果（sphere）的表面，还是一个甜甜圈（torus）的表面？对于生活在三维空间中的人类而言，这一问题显而易见，因为人类可以看到甜甜圈中间的“洞”，或称之为“环柄”，而苹果没有环柄。但是蚂蚁无法跳离曲面，因此看不到环柄。

庞加莱的问题可以如下理解：人类对照轮胎曲面和背景空间，看到了“洞”，这是否意味着轮胎（torus）曲面的环柄（洞）和轮胎在三维背景空间中的嵌入方式有关，而并非由轮胎曲面本身所内蕴决定？如果这样，那么蚂蚁只能观测到曲面的内蕴信息，因此无法判定环柄的存在。

图2. 同调的基本思想：边和圈的差别。

庞加莱的想法是考察曲面上的封闭曲线，即首尾相连的“圈”。曲面上的子区域的边界我们称为“边”，所有的“边”必然是“圈”，但是有些“圈”未必是“边”。如图2所示，球面上所有的圈都围绕着子区域，换言之，球面上所有的圈都是边；但是，轮胎表面上有些圈是边，如曲线c，有些圈不是边，如曲线a和b。（如果我们沿着圈a将轮胎切开，我们会得到一个圆柱曲面，圆柱曲面的边界包含上下两个圈，因此圈a本身并不是圆柱的边界。）由此，庞加莱的解答就是令蚂蚁考察曲面上

圈和边的差别

如果封闭曲面上所有的圈都是边，那么曲面必为球面，反之，曲面上具有环柄。

更进一步，庞加莱将圈空间引入代数结构：所有的圈构成线性空间（），所有的边构成线性空间（），因为边都是圈，因此边空间是圈空间的线性子空间（）。边空间在圈空间中的线性补空间被称为是曲面的下同调群（）。曲面的所有拓扑信息都反应在下同调群中。

图3. 曲面的四边形网格化（Leif Kobbelt）。

最为简单的同调代数构造方法是基于空间剖分，如图3所示。我们将曲面剖分成四边形网格，曲面上的顶点，边和面分别表示成。曲面上的曲线表示成边的线性组合，线性系数取在 模2域上:

，

我们称之为 1维链（1-chain）。所有的1-链构成的线性空间被称为是1-链空间，记为。同理，我们可定义不同维数的链和链空间。假如一条边的两个顶点为，我们可以定义边缘算子:

。

我们将边缘算子线性拓展成链空间之间的线性映射。同理，我们可以定义不同维数链空间之间的边缘算子

。

根据定义，我们看到一个1-链是封闭的，那么其边缘为0,，即它属于边缘算子的核空间，我们称之为闭链或者“圈”；如果存在一个2-链，其边缘等于，即，，则我们称是边缘链，或者“边”。圈和边的差别就是同调群：

。

如果两个圈相差一个边缘链，则我们说这两个圈彼此同调；和0同调的圈被称为是零调的，零调的圈就是边。

图4. 六面体网格化。

在计算机辅助工程领域（CAE），为了预测机械设计的性能，人们将机械零件剖分成六面体网格，然后用有限元方法（FEM）来求解偏微分方程。解的精确度和求解过程的效率很大程度上取决于网格化的质量。在工程实践中，人们经常将实体分解成许多零件，分别剖分每个零件，然后再整合。这就需要剖分在各个零件之间相交的界面上相互一致。一种常见的方法是先在各个零件表面上设计彼此一致的四边形网格，然后将表面的四边形网格向体内拓展成六面体网格，同时在拓展过程中保持表面四边形网格不变。这样，自然地引发了下面的问题：

给定空间中的一个紧的连通区域 ，其表面是一张拓扑复杂的曲面 。曲面上给定四边形网格 ，体内一个六面体网格 ，使得六面体网格的边缘等于四边形网格

，

这种六面体网格存在的充分必要条件是什么？

在过去的二十年间，学者和工程师们坚持不懈地寻求这一问题的解答。最终，在2014年，Jeff Erickson教授用同调的语言对这个基本问题给出了最为精确、最为简洁的回答。

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