圣杯问题 III 同调论的观点(下)

顾险峰（纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授）

Erickson的理论【3】表示异常简洁：假如边界曲面上四边形网格 具有偶数个面，则下面三个条件彼此等价：

1. 四边形网格是六面体网格的边缘，，

2. 的对偶在中零调，

3. 中任何零调的子图必有偶数条边。

   
   

首先每个六面体有6个面，两个六面体有可能共享一个面，因此必有偶数个面。因此，偶数个面的条件是必须的。

 我们可以构造的对偶，（详细解释请参阅“圣杯问题 II”），为一浸入曲面，，这意味着在中零调。

 如果在中零调，则存在中的光滑浸入曲面，满足的边缘是，亦即。

应用Whitney的曲面在中光滑浸入的理论，我们知道曲面横截相交的交点和交线具有图5所示的几种情景，

图5. 曲面光滑浸入，稳定横截相交，奇异点的分类。

曲面的自相交曲线为一维流形，或者为圈，或者为曲线段。如果交线为曲线段，若线段的端点都在边界曲面上，则其端点必为一对的顶点，即为第一种奇异点；也有可能交线段的两个端点都是分支奇异点（图5的最后一种情形），同时落在的内部，这时，我们可以微小扰动曲面，使得这条交线消失；交线段有可能一个端点在边界曲面上，为的一个顶点，另一个端点是分支奇异点，落在的内部。因为的顶点数等于的面数，根据假设，顶点数为偶数，第一种情形的顶点成对出现，余下的必为第三种情形的奇异点。因此第三种情形中，这种“孤悬”的分支奇异点必为偶数。这时，我们可以采用瑟斯顿的手术来成对去除分支奇异点：我们截除分支点的一个小邻域，然后贴上一片拓扑圆柱面，如图6所示。这样，浸入曲面的所有奇异点都不是分支点，然后我们采用气泡包裹法，在中加入封闭拓扑球面，生成。（详细讲解请参阅“圣杯问题 II”）最后的对偶给出了六面体网格。

图6. 瑟斯顿的手术，消除分支奇异点【3】。

体在三维球面中的补空间记为，它们共同的交集为边界曲面。假设边界曲面具有g个环柄，我们称之为亏格为g，则曲面上有g个环柄圈（handle loop，图7中的绿色圈），g个隧道圈（tunnel loop，图7中的红色圈）。这些环柄圈在中是零调的，但在中非零调；这些隧道圈在中是零调的，但在中非零调。环柄圈构成了补空间的同调群的基底；隧道圈构成了原来空间的同调群的基底。环柄圈和隧道圈共同构成了边界曲面的同调群基底。更为关键的是，假设是的一个圈，那么在中的同调类取决于和每个环柄圈的交点个数。圈在中是零调的，当且仅当和所有的环柄圈有偶数个交点。

图7. 高亏格曲面上的环柄圈（handleloop， 绿色）和隧道圈（tunnelloop， 红色）。（孙剑作）

 假设所有的零调圈都有偶数条边，因为所有的环柄圈是零调的，因此所有的有偶数条边。那么和圈的交点个数等于的条数，即和圈有偶数个交点，因此在中是零调的。

因为为零调，所以和所有环柄圈有偶数个交点，从而所有环柄圈有偶数条边。每条环柄圈对应着一个2-链，。则构成相对同调群的基底。

假设在中零调，则存在2-链，。在中，我们有同调类的等式

，

因此, 这里是中的2-链，由四边形组成，系数在模2域中，非0即1，因此有偶数条边。

Thurston-Mitchell的理论可以被看成是Erickson理论的特例，因为球面上所有的圈都是边，四边形网格的所有2-链都由四边形组成，其边界必然有偶数条边，因此（3）自动满足，从而得出（1）和（2）也自动满足。

图8. Mitchell's 轮胎【1】。

Erickson的理论表明了一个四边形网格是否能够拓展成一个六面体网格，不仅取决于的组合结构，同时也取决于在背景空间中的嵌入方式。如图8所示，Mitchell给出了一个轮胎的四边形网格，其在空间中有两种嵌入方式，左侧的嵌入无法拓展成六面体网格；右侧的嵌入方式却可以。

基于同调理论的存在性证明简洁抽象，但是并不直观，同时无法直接转换成实用的算法。Eppstein【4】给出了一种构造性方法，后来Erickson加以改进【3】。这种构造方法非常曲折，如果没有理论的存在性证明，相信Eppstein很难坚持到最后。

假定给了上的四边形网格，其对偶为零调。

第一步：将边界曲面每点沿着法向量向内移动微小距离，得到新的曲面，其内部体积记为。从上的四边形网格，我们得到的四边形网格，连接和对应的顶点，我们得到曲面和之间夹层的六面体网格。

图9. 每个四面体被劈开成四个六面体。

第二步：我们将的每个四边形一分为二，得到的一个三角剖分，以此三角剖分为限制条件，做的四面体剖分。然后计算边，面和体元的中心，连接这些中心，将每个四面体劈开成四个六面体，如图9所示。

图10. 上的网格。

第三步：如图10所示，在曲面上，我们开始有四边形网格（第一帧），然后加入对角线得到三角剖分（第二帧），的对偶是（第三帧中的蓝色曲线），经过内部六面体网格化，我们得到新的四边形网格（第四帧）。

我们选择一个子图如第四帧红色曲线所示，由第二帧中所有黑色边的对偶组成，和第三帧中的同伦（将第四帧中的绿边缩成点，就得到第三帧中的蓝色曲线）。因为零调，因此零调，存在曲面以为边界，我们称之为截面。我们将截面增厚，如图11中黄色的夹层。

图11. 截面增厚。

第四步：我们在寻找子图G，使得每个面和这个子图G有两个或者三个公共边。

图12. 曲面和之间夹层中的每个六面体表面的进一步剖分。

第一步结束后曲面和之间夹层被分解成许多六面体，我们对每个六面体的表面进一步四边形网格化，如图12所示，一共有两种情形，蓝色的边代表在子图G中的边。由此，我们得到所有六面体表面都有偶数个四边形，根据Thurston-Mitchell理论，每个夹层中的初始六面体可以进一步六面体网格化，并且保持边界四边形剖分不变。

自此，我们完成了整个区域的六面体网格化，即从四边形网格到六面体网格的拓展。这种构造方法理论完备，具有普适性。但是会生成大量的奇异点和奇异线，这极大地限制了它的应用。

从以上讨论我们可以看出，四边形网格可拓展到六面体网格的充分必要条件是的对偶是的对偶的边缘，亦即的对偶是零调的。这正是同调理论的核心观点。再加上对偶的浸入应该排除分支奇异点，由此得到了奇偶性条件。这基本概括了过去二十年间，在六面体网格生成领域的理论进展，可以用艰辛而缓慢来形容。

但是，Thurston-Mitchell-Erickson-Eppstein的理论主要关注非结构的六面体网格，在工程实践中，人们真正关注的是结构化的六面体网格。结构化六面体网格具有更加苛刻的条件，需要更为深刻的洞察和使用更加复杂的理论工具。我们在下一讲会仔细讲解。

【1】Scott A. Mitchell, "A Characterization of the Quadrilateral Meshes of a Surface Which Admit a Compatible Hexahedral Mesh of the Enclosed Volume." In proc. 13th Annual Symposium on Theoretical Aspects of  Computer Science (STACS `96), Lecture Notes in Computer Science 1046, Springer, pages 465-476, 1996.

【2】Hassler Whitney. The singularities of a smooth n-manifold in (2n-1)-space. Ann. Math. 45(2):247– 293, 1944.

【3】Jeff Erickson. Efficiently hex-meshing things with topology,Discrete & Computational Geometry52(3):427–449, 2014.

【4】David Eppstein. Linear-complexity hexahedral mesh generation. Comput. Geom. Theory Appl. 24 12:3–16, 1999.