圣杯问题 IV 三位一体（上）

顾险峰（纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授）

图1. 波士顿三一教堂（姜健摄）。

2016年10月10日，在圣地亚哥召开的美国计算力学等几何分析会议上，受等几何分析的创始人Tom Hughes博士的邀请，老顾做了题为“基于曲面叶状结构理论的六面体网”的报告，汇报了和大连理工大学罗钟铉、雷娜教授团队合作的关于神圣网格研究成果【1】。这一报告引起了与会者的广泛兴趣，许多人认为这是神圣网格问题理论研究的一个突破。Tom Hughes博士表示这是一项非常重要的工作；T-Spline之父，CAD领域的泰斗Tom Sederberg教授表示祝贺；犹他大学CAD领域的著名学者Elaine Cohen教授表示这是一个重要突破；佛罗里达大学，CAD领域的著名学者Jorg Peters教授给予了高度评价。Jorg教授认为这项工作从原则上解决了神圣网格问题，理清了体样条的奇异点和奇异曲线的性状，为构造全局光滑的体样条清除了障碍。他认为这方面学术上的研究已经成熟，剩下的工作应该被工业界接手来进一步完善。也有一些欧洲的学者纷纷索要论文，以进行跟踪复 制。德国维尔斯特拉斯应用分析和随机（Stochastic）研究所的斯杭博士，不远万里来纽约访问。充分的讨论之后，他对神圣网格问题的彻底解决充满了信心。

2016年3月22-24日，老顾专程拜访了犹他州的杨百翰大学（Brigham Young University）的Tom  Sederberg教授。Sederberg教授为大连理工大学的学者签名赠书。

2007年，SIGGRAPH 终身成就奖得主Tom Sederberg教授将老顾介绍给计算力学领域的泰斗Tom Hughes教授。那时，Hughes教授刚刚发起等几何分析（Isogeometric Analysis）的革命，和传统有限元方法比较，等几何分析可以提高计算精度，简化设计和分析流程。但是，等几何分析需要一个前提条件：将样条曲面转换成体样条表示。而这一点，需要计算结构化神圣网格（Structured HolyGrid）。Sederberg、Hughes和老顾在华盛顿聚会，就结构化神圣网格问题进行了深入地讨论。

美国三院院士（国家工程院，国家科学院，国家科学与艺术院）， Tom Hughes博士，发起了等几何分析的革命。

近十年来，老顾拜会了国内、国际许多著名专家学者，对这一问题的认识逐步加深。在盐湖城、在合肥，中国科技大学的陈发来教授多次告诉老顾：“这一领域的绝大多数研究都是比较经验性的，缺乏理论支撑。需要发现和建立严谨、普适的理论框架。”

法国Inria的Pierre Alliez教授，德国柏林自由大学的Konrad Polthier教授都是网格生成领域的专家，他们都有自己独到的见解。Aliez教授建议网格的边应该和曲面的主曲率线尽量吻合，Polthier教授建议用分支覆盖（Branch Cover）将标架场转换成微分形式。在巴黎，老顾和法国Inria的Bruno Levy教授交流过基于Centroidal Voronoi Tessellation的体网格生成算法。在里昂，老顾和几何逼近论大师Jean-Marie Movan教授探讨过网格质量和曲率收敛的关系。在科大刘利刚教授举办的图形学暑期班上，浙江大学的黄劲教授和老顾探讨了这个问题。黄教授在这个领域耕耘多年，具有宝贵的第一手经验，他对于用标架场生成六面体网的算法中奇异点、奇异线的分布问题深感兴趣，由于缺乏理论根基，奇异线的产生和分布不可控，其性状的分析也非常困难。在路易斯安那的巴吞鲁日，李新教授告诉老顾用空间形变来生成体网格所遇到的退化情形。在波士顿的哈佛校园，赵辉博士和老顾探讨过四边形网格成为polycube边界的拓扑条件。在香港，雷诺铭教授和老顾讨论过如何用拟共形几何手段来提高网格质量。在数字几何，计算力学，计算机辅助设计等诸多领域，几乎所有的学者都对相关问题充满浓厚兴趣。

大连是中国船舶设计、船舶制造的工业基地之一，精密机械加工方面工业基础深厚。大连理工大学历经半个多世纪的学术积累，具有非常雄厚的CAD/CAE科研基础。王仁宏教授开创的学派，一直在国内计算数学、计算几何领域占据领袖地位；计算力学的泰斗钱令希院士开创的计算力学专业，一直在国际上领先。王仁宏教授的弟 子，大连理工大学的校长助理罗钟铉教授邀请老顾前去访问讲学，对于神圣网格问题的研究给予了高度重视和大力支持。在大连理工讲学期间，老顾和计算力学方向的关振群教授交流了科研心得。关教授在网格生成领域有数十年的研究经验，他认为对偶网格能否分解为不自相交的封闭曲线具有重要意义。关教授和香港大学的王文平教授有过深入交流，王教授指出网格的光滑性和调和能量密切相关。大连理工大学的雷娜教授为了解决神圣网格问题在纽约访问了一年的时间，在这一年中，大家日以继夜，高度专注于这一问题，终于在理论上取得了长足进展。

在计算机辅助设计（Computer Aided Design CAD）领域，设计的机械都是由所谓的样条曲面（Spline Surface）来表示，特别是经典的NURBS曲面（Non-Uniform-Rational-B-Spline）。但是在计算机辅助工程（Computer Aided Engineering CAE）领域，机械的力学热学性能的数值模拟却是用有限元方法（Finite Element Method FEM）来处理。在通常情形下，有限元方法将机械实体进行三角剖分，如图2和图3所示，然后用分片线性函数来逼近光滑解。

图2. 机械零件，表面上的三角剖分。（斯杭作）

图3. 机械零件的内部三角剖分（斯杭作）。

CAD和CAE的基本数据结构的差异带来了工程上的巨大困难。首先，将CAD的NURBS样条表示转换成有限元的剖分，即所谓的网格生成，这需要困难而复杂的计算和操作。在波音航空公司中，网格生成这一步骤占据整个流程70%以上的时间和成本，真正求解偏微分方程只占30%不到的成本。其次，数学上的处理也比较间接而迂回。物理规律一般表示成高阶偏微分方程，而有限元方法一般用一阶光滑的分片线性函数。为了处理光滑阶数不够的矛盾，有限元方法一般采用偏微分方程的变分形式求得弱解。比如，热力平衡态的温度分布满足拉普拉斯方程，这是一个二阶椭圆型偏微分方程，未知函数需要具有二阶光滑性；用有限元的伽辽金法求解时，我们将拉普拉斯方程转换成优化调和能量的问题，而调和能量只需要一阶光滑性。

Tom Hughes博士深刻地洞察到了CAD和CAE基本数据结构不一致性这一基本问题，提出了等几何分析（Isogeometric Analysis）这一颠覆的理论框架，引发了CAD/CAE领域的一场革命。等几何分析的根本思想就是统一几何设计和几何分析的数据结构，工业设计和工业仿真都用样条表示。这样做的好处是显而易见的。

首先，等几何分析方法具有理论处理的便捷性。在等几何分析的框架下，未知函数被表示成NURBS基函数的线性组合。线性组合系数是待定的未知变量。因为NURBS基函数具有高阶可微，被高阶微分算子作用后所得函数依然是可以被表示为NURBS函数。这样，我们可以用待定系数法来求解偏微分方程。例如，为了求解拉普拉斯方程，我们在定义域中选取一些采样点，然后利用未知函数在采样点处的拉普拉斯等于零来求解待定系数。这种方法被称为是colocation方法，它不需要将偏微分方程转换成变分能量，因此数学手法上更为简洁直接。今年（2016年），在等几何分析领域的学者们在理论上首次证明了通过精心挑选采样点的位置，colocation方法求得解的精度达到伽辽金法求得解的精度。这在理论上将等几何分析方法提到了和有限元法平起平坐的地位。

其次，等几何分析方法省却了从样条到网格的转换过程。但是，这里隐藏着极大的挑战。传统的CAD模型只是将机械零件的表面用样条来表示，而等几何分析需要的是机械零件实体的样条表示。从样条曲面转换到体样条表示，这是等几何分析的根基。而这一根本问题的解决依赖于六面体网格的生成，即神圣网格问题的妥善解决。同时，更进一步，经典的神圣网格不要求结构化的网格，而等几何分析要求的是结构化六面体网格。所谓结构化，就是指局部上，六面体网格具有直积结构，和标准欧式空间中整数格点构成的网格同构。因此等几何分析提出的神圣网格问题更具有挑战性。

下一章我们将谈谈三位一体、红蓝网格及叶状结构，敬请继续关注。

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