圣杯问题 IV 三位一体（下）
顾险峰（纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授）
等几何分析提出的基本理论问题可以大致归纳如下：给定空间中封闭的高亏格曲面，剖分其内部体积，
结构化的六面体网格（神圣网格）是否存在？
如果存在，最少奇异点的个数是多少？
如果存在，最少奇异曲线的条数是多少？
这种神圣网格是唯一的吗？所有的神圣网格的集 合如何描述？
如何构造这种神圣网格？是否存在自动算法？
在过去的二十年间，Thurston、Mitchell、Erickson利用子流形浸入理论和同调群理论解答了非结构六面体网格的存在性问题，他们的方法对于结构性六面体网格的问题无能为力。最近，大连理工大学的罗钟铉、雷娜团队和老顾团队合作，利用曲面的叶状结构（foliation）理论和黎曼面的亚纯微分理论（Meromorphic Differential）理论对这些问题给出了确定的回答，从而将结构化神圣网格的理论向前推进了一步。
这一理论的核心在于证明了三个基本几何拓扑概念本质上是一致的，可着色四边形网格（红-蓝网格）、带测度的叶状结构（measured foliations）和全纯二次微分（holomorphic quadratic differentials），即所谓的三位一体。对于上面提到的基本问题，我们给出的解答是：
结构化的六面体网格存在，并且无穷多。
对于边界曲面的亏格为g>1，一般情况下，奇异点有4g-4个。
最少内部奇异曲线的条数是2g-2条（边界上有4条）。
这种神圣网格不唯一，其中边界曲面上诱导的四边形网格构成一个线性空间，其维数是6g-6维。
存在构造方法，其算法流程可以完全自动化。
图4. 红-蓝四边形网格。
图4显示了所谓的可染色四边形网格（或者红-蓝四边形网格）（colorable quad-mesh）。假设给定曲面上的四边形网格，如果我们能够将所有的边红-蓝染色，使得每个四边形中，两组对边分别被染成红色和蓝色，则此四边形网格被称为是可染色的。
图5. 可染色和不可染色的四边形网格。
有些四边形网格是不可染色的，如图5右帧所示，我们无法确定中间黑色边的颜色，无论我们选择红色或是蓝色，都会产生矛盾。我们证明了如下的引理：
四边形网格可染色的充要条件是所有顶点都和偶数条边相邻。
假设输入曲面是封闭曲面，如图4中的兔子曲面，给定一个可染色四边形网格，如兔子身上的红-蓝网格，可染色四边形网格的所有红边组成有限条圈，每条圈没有自相交点。同样，所有蓝边也组成有限条圈，每条圈也没有自相交点。我们考察可染色四边形网格的对偶网格，则对偶网格由有限条圈组成，并且每条圈都没有自相交。
我们将兔子曲面进行细分（subdivision），每个四边形被劈成四个子四边形，则红圈和蓝圈的条数加倍。我们不停地细分下去，则兔子曲面被红圈覆盖，同时也被蓝圈覆盖。换言之，兔子曲面被分解成红圈的并集，也被分解为蓝圈的并集。局部上看，红（蓝）圈层层堆叠，彼此没有交叉或者折叠，由此，我们得到了两个叶状结构（foliation）。
图6. 亏格为3的封闭曲面上的叶状结构（foliation）。
所谓叶状结构（foliation），就是将n维流形分解成(n-1)维子流形，其分解方式局部上具有直接结构，如图6所示，我们将亏格为3的曲面分解成一族曲线，每条曲线被称之为叶子。每片叶子可以是封闭曲线，或者无限延长的螺旋线。曲面上三条叶子交汇的点被称为是奇异点，一般情况下亏格为g>1的曲面上有4g-4个奇异点。在任意一个常点处（非奇异点），存在一个领域，叶状结构具有直积结构。
我们可以定义一个测度，这个测度的几何意义如下：任给一条曲线，此曲线横截通过了叶子的条数等于这条曲线的测度。
叶状结构的叶子实际上是曲面上的光滑流线，其速度切向量场为流场。最为光滑的流场被称为是所谓的调和场，其旋量处处为零，同时散度也处处为零。由此，曲面的叶状结构和曲面上的全纯微分开始联系起来。
下一章我们将谈谈全纯微分、六面体网格生成算法，敬请继续关注。
原文发于【老顾谈几何】，作者授权【WELSIM】转载
