圣杯问题 IV 三位一体（下2）
顾险峰（纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授）
图7. 亏格为一的曲面上的全纯微分。
图7解释了曲面上全纯微分的概念。给定一个亏格为一的小猫曲面（左帧），我们可以周期性地将曲面保角地映射到平面上面（中帧）。或者更为严密地，我们将小猫曲面上的黎曼度量，经过投影映射拉回到小猫曲面的万有覆盖空间上面，存在从万有覆盖空间到整个欧式平面的共形映射。这个共形映射的导数就是定义带小猫曲面上的一个全纯1-微分形式。这个共形映射将平面上的水平线拉回到曲面上，形成全纯微分的水平轨道（即为右帧中的红色曲线），这个映射经平面上的铅直线拉回到曲面上的全纯微分的铅直轨道（即为右帧中的蓝色曲线）。给定一个全纯1-微分形式，则其所有的水平轨道形成曲面的一个叶状结构。
图8. 亏格为二的曲面上的全纯微分，及其诱导的叶状结构。
图8显示了亏格为二的曲面上的全纯二次微分，及其水平和铅直轨道。全纯二次微分的严格数学描述比较抽象费解，它是借助于黎曼面的结构来诠释的。如图9所示，作为流形的曲面，我们无法用一个坐标系来覆盖，只能用多个坐标系来覆盖。如果我们都采用复坐标，并且坐标变换都是可逆全纯函数，则曲面被称为是黎曼面。给定一个全纯二次微分（Holomorphic Quadratic Differential），则它在每个局部坐标系下都是某个全纯函数导数的平方。
图9. 黎曼面的定义：所有局部坐标变换都是双全纯的。
曲面上所有的全纯二次微分构成一个线性空间，例如图10所示，前两个全纯二次微分之和等于第三个全纯二次微分。根据黎曼-罗赫定理，所有全纯二次微分构成的空间的维数等于6g-6。
图10. 所有的全纯二次微分构成线性空间。前两个叶状结构之和等于第三个叶状结构。
经典的 Hubbard-Masure 理论【2】证明了可测叶状结构和全纯二次微分之间的等价关系，任给一个可测叶状结构，则存在一个全纯二次微分，微分的水平轨道诱导的叶状结构和给定叶状结构在一定意义下彼此等价。
由此，我们证明了可染色四边形网格、可测叶状结构和全纯微分之间的等价关系，即三位一体。
基于三位一体的理论，我们可以设计六面体网格的自动生成算法。下面我们用一个简单的例子来解释我们算法的主要流程。
图11. 曲面上全纯二次微分的水平轨道诱导的叶状结构。
首先，我们计算全纯二次微分群的基底；然后，通过线性组合求得一个全纯微分；全纯微分的水平轨道给出了曲面的一个叶状结构，如图11所示。
图12. 叶状结构的奇异轨道。
过奇异点的轨道被称为是奇异轨道，每条奇异轨道连接着两个奇异点，如图12所示。
图13. 叶状结构诱导的四边形网格。
曲面的叶状结构诱导了曲面上的四边形网格（图13），奇异轨道将曲面分解成圆筒曲面（图14）。
图14. 奇异轨道将曲面分解成圆筒曲面。
图15. 曲面上的四边形网格向体内拓展成六面体网格。
每个圆筒曲面包含一个圆柱体，表面的四边形网格向体内拓展成圆柱体的六面体网格，如图15所示。三个圆柱体交于一条奇异线。
图16. 六面体网格。
最后生成的六面体网格如图16所示，只有4个奇异点，两条内部奇异曲线，整体具有很好地结构性。
目前，基于叶状结构的六面体网格生成算法侧重考虑了流形的拓扑结构和共形结构，而忽略了几何信息。在实际应用中，网格化需要充分考虑曲面的几何特征，特别是曲面的主曲率方向，曲面的特征曲线，尖锐的折角曲线等等。很多时候，我们需要加入更多的奇异点或奇异线，来使得网格化更好地适应几何特征。这些都是下一步需要发展的方向。
斯杭博士通过多年的实践经验，充分认识到从拓扑剖分到组合、几何剖分之间的巨大障碍。如何建立组合、几何剖分的障碍理论，在网格生成领域中具有根本的重要性。
虽然，等几何分析在学术界的研究日益蓬勃壮大，在工业界只有几家公司开始采用这一新兴技术。Tom Hughes在展望未来的时候，说出了非常具有哲理的一番话。他说历史上任何一个伟大的创造，都历经了三个阶段：
人们认为这种方法是不可能实现的，
人们认为虽然这种方法可以被实现出来，但是和现行的方法比较没有任何优势，因此没有必要采用这种方法，
人们须臾离不开这种方法。
他认为等几何分析目前正在前两个阶段，并且豪情满怀地畅想未来等几何分析必将取代有限元而成为业界主流。我们也倾向于认为，目前基于叶状结构的六面体网格生成方法介于第一和第二个阶段，我们有理由相信这种方法在不远的将来将大行其道！
关于曲面叶状结构，全纯微分的进一步理论阐述和全纯微分基底的具体计算方法，敬请读者们等待下一篇文章。
【1】N.Lei, X. Zheng, J. Jiang, Y. Lin, X.Gu, "Quadrilateral and Hexahedral Mesh Generation Based on Surface Foliation Theory", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Accepted 2016.
【2】J. Hubbard, H. Masur, “Quadratic differentials and foliations”, Acta
795 Math. (142) (1979) 221–274.
原文发于【老顾谈几何】，作者授权【WELSIM】转载
