圣杯问题V：全纯微分(上)

顾险峰（纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授）

图1. 波士顿三一教堂（姜健摄）。

2016年感恩节前夕，11月22日，老顾应邀在哈佛大学数学科学中心，既黑洞研究中心，做了一场报告；向丘成桐先生，诸多数学家和物理学家汇报了近期研究成果。许多新朋老友参加了报告会，特别是哈佛大学统计系的刘军教授。报告涵盖了离散曲面里奇流的理论【4】，最优传输问题的凸几何解法【5】，泰西米勒映射的计算方法【6】，以及这些理论方法在工程和医学方面的应用【3】。比如几何数据压缩，医学体数据的虚拟放大镜，动态人脸曲面的表情捕捉等。老顾着重介绍了最近有关圣杯问题的突破【2】：应用全纯二次微分（holomorphic quadratic differentials）诱导曲面叶状结构（surface foliations），进而构造实体（solid）的六面体网格化（hexahedral meshing）。

丘先生对于全纯二次微分计算方法的突破倍感欣慰，其实丘先生早在十五年前就要求老顾探索这一方向。那时的老顾知识储备不够，对于共形几何的理解不够透彻，理论功力和工程技巧不足以解决这个基本问题。更大的原因在于当时无法看清这一理论的实际应用前景，因而缺乏由衷的动力。虽然理论上全纯二次微分在整个共形几何中起到了支柱性的作用，但是在工程领域没有任何人提出这一理论可能的应用前景。当时，老顾也不知道圣杯问题的确切提法，更无法想象圣杯问题和全纯二次微分之间迂回曲折，却又至关重要的内在联系。但是丘先生一再坚持让老顾加强这方面的理论修养，同时亲自在哈佛数学系开课讲授曲面叶状结构理论，瑟斯顿（Thurston）的Teichmuller空间紧化理论，和McMullen运用叶状结构研究动态系统的理论。多年之后，老顾终于意识到这些理论对于实际工程问题的指导作用，对于丘先生的高瞻远瞩无比钦佩。

2001年左右，依随图形处理器GPU (Graphics Processing Unit)技术的兴起，纹理贴图（Texture Mapping）技术极大地提高了动画渲染的质量。纹理贴图技术依赖于所谓的曲面参数化(Surface Parameterization)技术，亦即寻求曲面到平面区域的映射，要求此映射是微分同胚，同时尽量减小映射带来的畸变。在计算机图形学领域中，许多学者开始尝试用共形映射（conformal mapping）来解决曲面参数化问题。当时人们只能计算拓扑圆盘到平面区域间的共形映射，例如经典的黎曼映照，即所谓的局部参数化方法。所谓的全局参数化，即计算拓扑复杂曲面间的共形映射成为万众瞩目的核心问题。

丘先生指导老顾一举解决了这一问题，其方法的核心就是全纯一次微分（holomorphic One Form）【1】。全纯微分是黎曼面理论中的核心概念，其定义佶屈聱牙，隐晦抽象，很难令初学者领悟，也很难向别人传达精神实质。在日常生活经验中，并没有显而易见的范例。历史上，这一概念只存在于数学家头脑之中，没有任何人真实地看到过拓扑复杂曲面上的全纯一形式。对于数学家如何发现这一深刻的几何概念，令人大惑不解，对于人类智慧能够到达的深邃程度，当时的老顾只有惊叹。

丘先生指导老顾做出的算法使得全纯一形式这一神秘概念变得随意可算，平易近人。通过可视化技术，人们可以直接看到这一抽象概念，从而轻而易举地建立直觉。全纯一形式提供了计算曲面间共形映射的强有力方法。后来，众多合作者们将这一方法打磨提炼，拓展推广，逐步向许多工程和医疗领域渗透。十数年后，这种方法已在工业界和医疗界被广泛采用，西门子，通用电气，MathWorks，暴雪等很多公司都采用了全纯一次微分的算法，应用于癌症诊断，科学计算和动漫动画等实际问题。

图2. 亏格为二的曲面上，调和一形式群的基底。

我们先从物理角度入手来理解全纯一形式。考察空间中在远离电荷处的静电场，电场强度是一个矢量场。如果我们将一个带电粒子沿着一条封闭曲线移动一周，则电场对带电粒子所做的总功为零，粒子的电势不发生改变。这意味着矢量场的旋量处处为零。同时因为矢量场内部没有电荷，因此散度处处为零。旋量和散度处处为零的矢量场被称为是调和场（Harmonic Forms）。

调和场对加法和数乘运算封闭，因此曲面上所有的调和场构成线性空间。霍奇定理（Hodge Theory）断言，调和场构成的线性空间，或者阿贝尔群，和曲面的上同调群同构。调和场满足椭圆型偏微分方程，上同调群是拓扑结构，因此霍奇定理连接了分析和拓扑两大领域，其自然推广是指标定理。图2显示了一个亏格为二的曲面上，调和场所构成的群的基底。

图3. 亏格为二的曲面上全纯一形式的基底。

给定曲面上的一个调和场，我们将切矢量逐点围绕法向量旋转90度，得到的另外一个矢量场也是调和场，这里*被称为霍奇星算子，代表旋转90度的操作。被称之为是的共轭调和场。我们将一对共轭的实调和场配对，得到复的全纯一形式。

图4. 亏格为一的曲面上的全纯一形式。

图3显示的是亏格为二的曲面上所有全纯一形式构成的复线性空间的基底。图4给出了全纯一形式的几何解释。给定亏格为一带度量的封闭曲面，是其万有覆盖空间，为投影映射。投影映射在覆盖空间上诱导的拉回度量为，则存在从万有覆盖空间到平面的共形映射，，如图4右帧所示。那么，这一共形映射的导数就是万有覆盖空间上的全纯一形式，投射到原来曲面上，就是原来曲面上的全纯一形式，如图4左帧所示。高亏格曲面的全纯一形式也有类似解释，只是共形映射包含分支奇异点。如图3所示，高亏格全纯一形式的分支奇异点正是其零点，每个零点和8个方格相邻。

图5. 全纯一形式诱导的水平和铅直轨线。

共形映射  将平面上的水平线和铅直线拉回到曲面上，得到所谓的水平轨迹和铅直轨迹，如图5所示。

图6. 黎曼面。

经典的教科书定义全纯一形式如下。给定带度量的可定向曲面，对于任意一点，存在一个包含该点的邻域，在此邻域上存在所谓的等温坐标（isothermal parameters），使得黎曼度量的局部表示为。我们可以用等温坐标构成整个曲面的图册，如图6所示，那么所有局部坐标之间的变换函数都是复数值的全纯函数（holomorphic function）。这样的图册被称为是共形图册，具有共形图册的曲面被称为是黎曼面。有了共形图册，角度可以被定义。通常，共形图册也被称为是共形结构。

给定一张黎曼面，其共形图册为，坐标卡上的局部复数坐标为，那么全纯一形式具有局部表示

，

这里是全纯函数。如果两个坐标领域彼此相交，，那么

，

这里

。

这种定义简洁明了，毫无歧义，但是对于初学者而言很难领悟到其真正意义。给定全纯一形式，我们局部可以定义自然坐标，给定开集U，

这里p是曲面上开集U内的任意一点，q是事先选取的基点，积分路径包含在U内。同时，全纯一形式诱导了带有奇异点的平直度量，

，

的零点成为度量的锥点(Cone Singularity)，锥角为。

下一章我们将谈谈全纯一形式、全纯二次微分以及泰西米勒映射，敬请继续关注。

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