圣杯问题V：全纯微分(中)
顾险峰（纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授）
形式上，全纯二次微分可以类似于全纯一形式进行定义。给定一张黎曼面
，其共形图册为
，坐标卡
上的局部复数坐标为
，那么全纯二次微分具有局部表示
，
这里
是全纯函数。如果两个坐标领域彼此相交，
，那么
，
这里
。
黎曼面上所有的全纯二次微分构成复线性空间，根据黎曼-罗赫定理，此空间的维数为
。局部上看，给定全纯二次微分
和曲面上的任意一个邻域
，如果不包含的零点，那么
是全纯一形式。那么我们自然可以用的水平和铅直轨线来定义的轨线。
图7.全纯一形式的轨线和全纯二次微分的轨线对比。
图7显示了全纯一形式的轨线和全纯二次微分轨线的对比，我们看到在正常点附近，两者区别不大；单是在零点附近，两者性状差异较大。全纯一形式的零点是8个方格粘在一起，全纯二次微分的零点是6个方格贴在一起。实际上，全纯一形式整体平方后也是全纯二次微分，因此全纯二次微分是全纯一形式的自然推广。
给定全纯二次微分
，我们可以定义其自然坐标为
的自然坐标，其诱导的平直度量为
，
的零点成为度量的锥点(Cone Singularity)，锥角为
。
图8. 共形映射和拟共形映射对比。
全纯二次微分在拟共形映射(Quasi-Conformal Map)和泰西米勒理论(Teichmuller Theory)中起到了核心作用。共形映射将源曲面上无穷小圆映成目标曲面上的无穷小圆，如图8上面一行所示；拟共形映射将无穷小椭圆映成无穷小圆，如图8下面一行所示。
图9. 带有特征点的拓扑圆盘曲面间，一般不存在共形映射。
一般而言，拓扑复杂的曲面之间不会存在共形（保角）映射。如图9所示，两张带有特征点的人脸曲面，如果我们要求映射将每个特征点映到相应的特征点，则不存在保角变换，但是存在最为接近保角变换的拟共形映射。衡量拟共形映射接近共形映射的一种准则是考虑无穷小椭圆的偏心率（即长轴和短轴之比）。固定一个映射
，令点p跑遍整个源曲面，点p处无穷小椭圆的偏心率记为
，整个映射的最大伸缩商（Dilation）是所有各点处偏心率的最大者，
。
固定映射的同伦类，极值拟共形映射（Extremal Quasi-Conformal Map）是所有微分同胚中最大伸缩商最小者，
。
可以证明，极值映射的一个几何特性是所有点处的无穷小椭圆偏心率都相等，亦即
为常数。如图10所示，图9中带有特征点的曲面间存在唯一的极值映射，它将每一点处的无穷小圆映成具有相同偏心率的无穷小椭圆。
图10. 带特征点曲面（图9）间的极值映射，所有无穷小椭圆的偏心率相同。
那么极值映射和全纯二次微分有何关系呢？泰西米勒（Teichmuller）给出了如下石破天惊的定理：在通常条件下，如果拓扑复杂的黎曼面间的极值映射是
，则在源曲面
和目标曲面
上各存在一个全纯二次微分
和
，极值映射将的水平轨迹映到的水平轨迹，将的铅直轨迹映到的铅直轨迹，将的零点映到的零点。如果我们采用和的自然坐标，则极值映射是最简单的线性映射：
。
这一结论简单得无以复加，但却精妙绝伦。全纯二次微分和不仅依赖于源曲面和目标曲面的共形结构，同时也依赖于映射
的同伦类。
我们考虑拓扑相同的所有黎曼面构成的空间，换言之所有共形结构构成的空间，历史上被称为泰西米勒空间（Teichmuller Space）。固定一个黎曼面
，任选一个全纯二次微分
，我们保持铅直轨迹不变，将水平轨迹均匀延长k倍，我们得到一个新的黎曼面。如此操作，我们可以穷尽所有可能的黎曼面。这意味着给定黎曼面上的所有全纯二次微分构成的线性空间，是泰西米勒空间在
处的切空间。由此，我们看到全纯二次微分在模空间理论中的根本作用。
下一章我们将谈谈叶状结构以及未来展望，敬请继续关注。
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